在斜边为AB的Rt△ABC中,过A作PA⊥平面ABC,AM⊥PB于M,AN⊥PC于N

首先需要证明几条直线之间的垂直关系
PA⊥平面ABC,所以PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC,而BC⊥AC,所以BC⊥平面PAC,所以PC⊥BC,BC⊥AN,而AN⊥PC所以AN⊥平面PBC,所以AN⊥MN
有,设BC=a,则PB=4√2,而S(PAB)=1/2PA*AB=1/2AM*PB,所以AM=2√2,而AC=√(16-a^2),PC=√(32-a^2)同理可知AN=4√(16-a^2)/√(32-a^2),则tanθ=BC/PC=a/√(32-a^2),MN=√(8a^2/(32-a^2)),则S△=1/2AN*MN=4√(2a^2(16-a^2))/(32-a^2),而tan^2θ=a^2/(32-a^2),则a^2=32tan^2θ/(1+tan^2θ),θ为锐角,代入S△中整理得S△=4√(tan^2θ*(1-tan^2θ))=4tanθ√(1-tan^2θ)
S^2=16tan^2θ(1-tan^2θ),当tan^2θ=1/2时S最大,此时tanθ=√2/2