如图,在矩形ABCD中,将边AD折叠,使点Dl落在边BC的点F处,已知折痕AE=5根号5,且EC：FC的值为3：4

存在 AP=4或20
分为两种情况：
一、P在AB的反向延长线上（p在AB左边）AP=4
∠AQP=∠FQG
90 < ∠QFG < ∠AFG=90+∠EFC
因为DE=5 AD=10
tan∠DAE=1/2
因为tan∠EFC=3/4
所以∠DAE < ∠EFC
所以90 < ∠PAQ < ∠AFG
所以当Q在移动时 存在PQ使得∠PAQ=∠QFG即两个三角形相似
所以相似的时候∠P=∠Q
根据比例很容易得出CG=6 AG=8√5 EG=3√5
PB=2BF=12
所以AP=4
二、P在AB在延长线上（P在AB右边）AP=20
因为∠P+∠PAG=90 ∠Q+∠PAG=90
因此∠P=∠Q
因为AG与BG相交 不平行
所以永远可能存在P Q 使得∠AQP=∠QFG
要使两个三角形相似 只能是∠AQP=∠FQG=90
即PQ垂直AG
这样呢就很容易根据比例（直角三角形ABG APQ QFG CEG的三条边比例为1：2：√5）
知道 CG=6 EG=3√5
QF=2√5 QG=4√5 PG=8√5
AQ=4√5 AP=20