已知抛物线方程x²=4y,过点P(t,-4)作抛物线的两条切线PA、PB,切点分别为A、B；求证：直线AB过定点(0,4).
设过P的切线方程为y=k(x-t)-4,代入抛物线方程得x²-4[k(x-t)-4]=x²-4kx+4kt+16=0
令其判别式△=16k²-4(4kt+16)=16k²-16tk-64=0,即有k²-tk-4=0,故得k=[t±√(t²+16)]/2,
设PA的斜率k₁=[t-√(t²+16)]/2,PB的斜率k₂=[t+√(t²+16)]/2；
对抛物线y=x²/4取导数得y'=x/2；
令[t-√(t²+16)]/2=x/2,得x₁=t-√(t²+16),y₁=(1/4)[t-√(t²+16))]²=(1/2)[t²-t√(t²+16)+8]；
即切点A的坐标为(t-√(t²+16),(1/2)[t²-t√(t²+16)+8])；
再令[t+√(t²+16)]/2=x/2,得x₂=t+√(t²+16)；y₂=(1/4)[t+√(t²+16))]²=(1/2)[t²+t√(t²+16)+8]；
即切点B的坐标为(t+√(t²+16),(1/2)[t²+t√(t²+16)+8])；
故AB所在直线的斜率K=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)=[t√(t²+16)]/[2√(t²+16)]=t/2；
AB所在直线的方程为:
y=(t/2)(x-x₂)+y₂=(t/2)[x-t-√(t²+16)]+(1/2)[t²+t√(t²+16)+8]=(t/2)(x-t)+(1/2)(t²+8)=(t/2)x+4
当x=0时y=4,即不论t值任何,AB所在的直线都过定点(0,4).故证.
