C和D.
C.
=>
t=-h,t->0.
[f(a)-f(a-h)]/h = [f(a+t)-f(a)]/t,
lim_{h->0}[f(a)-f(a-h)]/h存在,所以,
lim_{t->0}[f(a+t)-f(a)]/t=lim_{h->0}[f(a)-f(a-h)]/h,也存在,
f(x)在x=a处可导.
0}[f(a-h)-f(a)]/(-h)存在.
而lim_{-h->0}[f(a-h)-f(a)]/(-h) = lim_{h->0}[f(a)-f(a-h)]/h.
所以,
lim_{h->0}[f(a)-f(a-h)]/h存在.
说明C是f(x)在x=a处可导的充要条件.
D.
=>
t=1/h,t->0.
h[f(a+1/h)-f(a)]=[f(a+t)-f(a)]/t,
lim_{h->无穷}{h[f(a+1/h)-f(a)]}存在,则,
lim_{t->0}[f(a+t)-f(a)]/t=lim_{h->无穷}{h[f(a+1/h)-f(a)]},也存在.
所以,f(x)在x=a处可导.
0}[f(a+1/h)-f(a)]/(1/h)存在.
而lim_{(1/h)->0}[f(a+1/h)-f(a)]/(1/h) = lim_{h->无穷}h[f(a+1/h)-f(a)].
所以,
lim_{h->无穷}h[f(a+1/h)-f(a)]存在.
说明D是f(x)在x=a处可导的充要条件.
A的反例,
t不为0时,f(a+t)=a+t,
t=0时,f(a+t)=a+1.
则,h不为0时,[f(a+2h)-f(a+h)]/h=[(a+2h)-(a+h)]/h=1,
lim_{h->0}[f(a+2h)-f(a+h)]/h = 1,存在.
但lim_{t->0}f(a+t)=lim{t->0}(a+t)=a不等于a+1=f(a),f(x)在x=a处不连续,所以不可导.
说明A不是f(x)在x=a处可导的充分条件.
B的反例,
t不为0时,f(a+t)=a+t,
t=0时,f(a+t)=a+1.
则,h不为0时,[f(a+h)-f(a-h)]/(2h)=[(a+h)-(a-h)]/(2h)=1,
lim_{h->0}[f(a+h)-f(a-h)]/(2h) = 1,存在.
但lim_{t->0}f(a+t)=lim{t->0}(a+t)=a不等于a+1=f(a),f(x)在x=a处不连续,所以不可导.
说明B不是f(x)在x=a处可导的充分条件.
再问： 。。。谢谢你写这么多 是对的没错
再答： D是lim(h趋近于无穷) h[f(a+1/h)-f(a)]存在吗? 若是的话,D也对.
再问： 是的 是对的 对于D选项 如果设 当x不等于0时 f(x)=1 x等于0时 f(x)=0 这样 假设可以吧如果这样 那在x=0时不是不可导了吗 我就这看答案不明白为什么把这个假设用在别的选项 对于D选项不用
再答： 对D来说, 要是,x不为a时,f(x)=0. f(a)=1,则 h[f(a+1/h)-f(a)]=h[0-1]=-h, lim_{h->无穷}h[f(a+1/h)-f(a)] 就是无穷了. 所以,对D来说,这个例子不合适. 实际上, 若 lim_{h->无穷} h[f(a+1/h)-f(a)]存在, h->无穷, 因此,lim_{h->无穷}[f(a+1/h)-f(a)]只能是0. 说明, lim_{h->无穷} h[f(a+1/h)-f(a)]存在,已经能保证f(x)在x=a处连续了.
