急求高一一元二次不等式经典习题

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急求高一一元二次不等式经典习题
1个回答 分类:数学 2014-11-04

问题解答:

我来补答
例1 已知实数a、b、c、R、P满足条件PR>1,Pc+2b+Ra=0.求证:一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实根.
证明 △=(2b)2-4ac.①若一元二次方程有实根,
必须证△≥0.由已知条件有2b=-(Pc+Ra),代入①,得
△ =(Pc+Ra)2-4ac
=(Pc)2+2PcRa+(Ra)2-4ac
=(Pc-Ra)2+4ac(PR-1).
∵(Pc-Ra)2≥0,又PR>1,a≠0,
(1)当ac≥0时,有△≥0;
(2)当ac<0时,有△=(2b)2-4ac>0.
(1)、(2)证明了△≥0,故方程ax2+2bx+c=0必有实数根.
求证:对任一矩形A,总存在一个矩形B,使得矩形A和矩形B的周长和面积比都等于常数k(k≥1).
分析 设矩形A及B的长度分别是a,b及x,y,为证明满足条件的矩形B存在,只须证明方程组
(k,a,b为已知数)
有正整数解即可.
再由韦达定理,其解x,y可以看作是二次方程
z2-k(a+b)z+kab=0的两根.
∵k≥1,故判别式
△ =k2(a+b)2-4kab
≥k2(a+b)2-4k2ab
=k2(a-b)2≥0,
∴上述二次方程有两实根z1,z2.
又z1+z2=k(a+b)>0,z1z2=kab>0,
从而,z1>0,z2>0,即方程组恒有x>0,y>0的解,所以矩形B总是存在的.
 
 
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