一道高一立体几何证明题

问题描述:

一道高一立体几何证明题
已知空间四边形O-ABC中,OA⊥BC,OB⊥AC.求证:OC⊥AB.
1个回答 分类:数学 2014-09-25

问题解答:

我来补答
已知:空间四边形O-ABC中,OA⊥BC,OB⊥AC
求证:OC⊥AB
证明:(话说,不要把“空间四边形”五个字看死了,其实就是不共面的四点)
过O做平面ABC的垂线OO',垂足为O'
则OO'⊥BC
又OA⊥BC
则O'A⊥BC(则就是三垂线定理)
同理,O'B⊥AC
则O'为ABC垂心
于是O'C⊥AB
而OO'⊥AB
则AB⊥平面OO'C
AB⊥OC
别证:(还可以用空间向量,我们刚好正在学)
以{OA,OB,OC}为基底向量
由OA⊥BC
得OA·(OC-OB)=0,即OA·OC-OA·OB=0……(1)
又由OB⊥AC
得OB·OC-OB·OA=0……(2)
由(2)-(1)
OB·OC-OA·OC=0
即OC·(OB-OA)=0
OC·AB=0
即证,OC⊥AB
(其中OA,OB,OC为向量,只是箭头无法打出,在此作下解释)
 
 
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