焦点在X轴上的椭圆的离心率为2分之根号3,与直线X+Y-1=0交于M,N若OM垂直于ON求椭圆方程?

椭圆的离心率为2分之根号3
∴ c/a=√3/2
设c=√3t,a=2t
∴ b=t
设M(x1,y1),N(x2,y2)
设方程为x²/(4t²)+y²/t²=1
即 x²+4y²=4t²
将直线x+y-1=0,即 y=1-x代入
x²+4(1-x)²=4t²
即 5x²-8x+4(1-t²)=0
∴ x1+x2=8/5,x1*x2=4(1-t²)/5
∴ y1*y2=(1-x1)*(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2=1-8/5+4(1-t²)/5=(1-4t²)/5
∵ 若OM垂直于ON
x1x2+y1y2=0
∴ 4(1-t²)/5+(1-4t²)/5=0
∴ 5-8t²=0
∴ t²=5/8
∴ a²=5/2,b²=5/8
∴ 椭圆方程是x²/(5/2)+y²/(5/8)=1