k、a、b为正整数,k被a2、b2整除所得的商分别为m,m+116． （1）若a,b互质,证明

k、a、b为正整数,k被a2、b2整除所得的商分别为m,m+116． （1）若a,b互质,证明
k、a、b为正整数,k被a2、b2整除所得的商分别为m,m+116．
（1）若a,b互质,证明a2-b2与a2、b2都互质；
（2）当a,b互质时,求k的值．
（3）若a,b的最大公约数为5,求k的值．
（1）设s为a2-b2与a2的最大公约数,
则a2-b2=su,a2=sv,u,v是正整数,
∴a2-（a2-b2）=b2=s（v-u）,可见s是b2的约数,
∵a,b互质,
∴a2,b2互质,可见s=1．
即a2-b2与a2互质,同理可证a2-b2与b2互质；
（2）由题知：ma2=（m+116）b2,
m（a2-b2）=116b2,
∴（a2-b2）|116b2,
∵（a2-b2,b2）=（a2,b2）=1,
∵（a2-b2）|116,
所以a2-b2是116的约数,116=2×2×29,
a2-b2=（a-b）（a+b）,
而a-b和a+b同奇偶性,且a,b互质,
∴a2-b2要么是4的倍数,要么是一个大于3的奇数,
∴（a-b）（a+b）=29 或（a-b）（a+b）=116,
∴a-b=1,a+b=29或a-b=1,a+b=116或a-b=2,a+b=58或a-b=4,a+b=29,
解得只有一组解符合条件,
a=15,b=14,
∴m（152-142）=116×142,
∴m=4×142=784,
∴k=784×152=176400；
（3）设a=5x,b=5y,（x,y）=1,
则m（a2-b2）=116b2,
∴即m（25x2-25y2）=116（25y）2,
∴m（x2-y2）=116（y）2,
∵x,y互质,则有：m=24×72,
∴x=15,y=14,
a=75,b=70,m=784,
k=784×752=4410000．
14、15行不懂
27行不懂