求齐次方程(x+y)dx+(3x-3y-4)dy=0的通解

联立解方程组
x+y=0
3x-3y-4=0
解得：x=2/3,y=-2/3.
令：
X=x-2/3
Y=y+2/3.
则原方程为：(X+Y)dX+(3X-3Y)dY=0.即：dY/dX=(1+Y/X)/(3Y/X-3).令Y/X=u.
则：dY/dX=X*(du/dX)+u=(1+u)/(3u-3).
即：X/dX=(((1+u)/(3u-3))-u)/du.
该方程解出来确实很复杂,我用了半天也得不到你的答案.所以估计你的题目是错的,用答案验证一下,果然如此.我改了一个符号,原方程应该是：
(x+y)dx+(3x+3y-4)dy=0.
令x+y=u.则dy=du-dx.
所以：udx+(3u-4)(du-dx)=0.
化得：(3/2)du+(1/(u-2))du=dx.
所以：(3/2)u+ln|u-2|=x+C/2
即：3u-2x+2ln|u-2|=C.代入u=x+y有：
3x+3y-2x+2ln|x+y-2|=C.
即：x+3y+2ln|x+y-2|=C.ln|x+y-2|必须加绝对值：
所以：x+3y+2ln|2-x-y|=C.为通解,就是你的答案了.