问题描述: 求解方向导数中的内法线方向问题.如图,红色字体中,内法线方向是怎么求出的, 1个回答 分类:综合 2014-11-20 问题解答: 我来补答 设封闭曲线的方程为 F(x,y) = 0那么法向量可以为 n = {∂F/∂x, ∂F/∂y}特别的,若曲线的方程为 y = y(x),即 y-y(x) = 0那么法向量可以为 n = ±{-dy/dx, 1}“+”表示法向量与y轴正向夹角不大于π/2,“-”则反之当需要求封闭曲线内法线方向的时候就必须画图了因为“+”并不是表示外,“-”也不表示内根据图像才能较直观的看出内法线是朝上还是朝下请见下图,图1里内法线是朝下的,所以取“-”(这个即题目里的情况)而图2里内法线是朝上的,所以取“+” 再问: 特别的,若曲线的方程为 y = y(x),即 y-y(x) = 0? 曲线的方程不是为 F(x,y) = (x^2/a^2)+(y^2/b^2)-1=0? 再答: 前面的一堆话都是理论 现在就看看怎么用理论求解问题咯: 法一,用上述理论 闭曲线方程为:F(x,y) = (x²/a²)+(y²/b²)-1=0 (这个就不是所谓的特殊形式y=y(x)) 法向量可以为 n = {∂F/∂x, ∂F/∂y} = {2x/a²,2y/b²} 将点{a/√2,b/√2}带入:n = {√2/a,√2/b} 乘上一个系数 ab/√2 使结果好看一些,即n = {b,a} 法二,通过切线与法线垂直 切线的斜率为 k = -b/a 设法线的斜率为 k’ 那么 kk’ = -1 , 得出 k’ = a/b 那么法线的方向 n = {1,k’} = {1,a/b} 乘上一个系数 b 使结果好看一些,即 n = {b,a} (两个方法的最后一步仅仅是使结果好看一些) 现在求出的只是法线方向,是否要添加负号使它成为内法线就要画图 这时通过图形判断到底要不要加上一个负号 图画出来就是上图第一幅图的样子 再由点{a/√2,b/√2}在第一象限,内法线应该朝下左下方 即说明n的x,y分量都要小于零,而b,a都大于零,于是要添加一个负号,即n = {-b,-a} 此时就求得了最终结果 (实际上 n = k{-b,-a },k>0 的向量都可以作为你要求的内法线方向,只是{-b,-a}好看一些)再问: 好的。 展开全文阅读