计算由平面Z=0及旋转抛物面Z=1-X²-Y²所围成的立体的体积

旋转抛物面z=1-x^2-y^2与z=0（xoy平面）交线为一个半径=1的圆,方程为x^2+y^2=1,设该圆在第一象限部分与X轴和Y轴围成区域为D,根据对称性,
V=4∫【D】∫（1-x^2-y^2)dσ
=4∫【0→1】[∫（【0→√（1-y^2)】（1-x^2-y^2)dx]dy
=4∫[【（0→1】）∫【0→√（1-y^2)】[x-x^3/3-xy^2)dy]
=4∫[【（0→1】）[√（1-y^2)-(1-y^2)^(3/2)-y^2√（1-y^2)]dy
设y=sint,dy=costdt,y=0,t=0,y=1,t=π/2,
原式=4∫【0→π/2】[cost-(cost)^3-(sint)^2(cost)]costdt
=8/3∫【0→π/2】[(cost)^4dt
=(8/3)∫【0→π/2】[(1+cos2t)/2]^2dt
=(8/3)∫【0→π/2】[(1/4+cos2t+(1+cos4t)/8]dt
=(8/3)[t/4+sin2t/2+t/8+(sin4t)/32)【0→π/2】
=(8/3)[(3/8)*π/2+0+0]
=π/2.
其中【】积分下上限.
所围成的立体的体积为π/2.