连环步问题

解题思路： 导数 。
解题过程：
广东省2009届高三数学一模试题分类汇编——函数 一、选择题 1、（2009广东三校一模）2.函数在处取到极值，则的值为 B 2、（2009广东三校一模）定义在上的函数是奇函数又是以为周期的周期函数,则等于 B 3、（2009东莞一模）下列四个函数中，在（0，1）上为增函数的是 A． B C． D． A 4、（2009番禺一模）已知函数 若，则（ ） A． B． C．或 D．1或 C 5、（2009江门一模）函数的定义域是 A. B. C. D. C 6、（2009茂名一模）已知函数是定义域为的偶函数,且,若在上是减函数,那么在上是 ( ) A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减的函数 D. 先减后增的函数 A 7、（2009韶关一模）已知函数，若实数是方程的解，且，则的值为 A．恒为正值 B．等于 C．恒为负值 D．不大于 A 8、（2009深圳一模）若函数的图象如右图，其中为常数．则函数的大致图象是 A． B． C． D． D 二、、解答题 1、（2009广东三校一模）设函数. (1)求的单调区间; (2)若当时,(其中)不等式恒成立,求实数的取值范围; (3)试讨论关于的方程:在区间上的根的个数. （1）函数的定义域为. 1分 由得; 2分 由得, 3分 则增区间为,减区间为. 4分 (2)令得,由(1)知在上递减,在上递增, 6分 由,且, 8分 时, 的最大值为,故时,不等式恒成立. 9分 (3)方程即.记,则 .由得;由得. 所以在上递减;在上递增. 而, 10分 所以,当时,方程无解; 当时，方程有一个解; 当时,方程有两个解; 当时,方程有一个解; 当时,方程无解. 13分 综上所述,时,方程无解; 或时,方程有唯一解; 时,方程有两个不等的解. 14分 2、（2009东莞一模）已知，，. （1）当时，求的单调区间； （2）求在点处的切线与直线及曲线所围成的封闭图形的面积； （3）是否存在实数，使的极大值为3？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 解：（1）当.…（1分） ……（3分） ∴的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为：，. ……（4分） （2）切线的斜率为， ∴ 切线方程为.……（6分） 所求封闭图形面积为 . ……（8分） （3）， ……（9分） 令. ……（10分） 列表如下： x (－∞，0) 0 （0，2－a） 2－a (2－a，+ ∞) － 0 + 0 － ↘ 极小 ↗ 极大 ↘ 由表可知，. ……（12分） 设， ∴上是增函数，……（13分） ∴ ，即， ∴不存在实数a，使极大值为3. ……（14） 3、（2009江门一模）已知函数，是常数，． ⑴若是曲线的一条切线，求的值； ⑵，试证明，使． ⑴-------1分，解得，或-------2分 当时，，，所以不成立-------3分 当时，由，即，得-----5分 ⑵作函数-------6分 ，函数在上的图象是一条连续不断的曲线------7分，------8分 ①若，，，使，即-------10分www.ks5u.com ②若，，， ，当时有最小值，且当时-------11分， 所以存在（或）从而，使，即-------12分 4、（2009茂名一模）已知，其中是自然常数， （Ⅰ）讨论时, 的单调性、极值； （Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，; （Ⅲ）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. （Ⅰ）， ……1分 ∴当时，，此时单调递减 当时，，此时单调递增 ……3分 ∴的极小值为 ……4分 （Ⅱ）的极小值为1，即在上的最小值为1， ∴ ，……5分 令，， ……6分 当时，，在上单调递增 ……7分 ∴ ∴在（1）的条件下，……9分 （Ⅲ）假设存在实数，使（）有最小值3， …9分 ① 当时，在上单调递减，，（舍去），所以， 此时无最小值. ……10分 ②当时，在上单调递减，在上单调递增 ，，满足条件. ……11分 ③ 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3. 21. 解: (1) ,两边加得: , 是以2为公比, 为首项的等比数列. ……① 由两边减得: 是以 为公比, 为首项的等比数列. ……② ①-②得: 所以,所求通项为…………5分 (2) 当为偶数时, 当为奇数时,,,又为偶数 由(1)知, ……………………10分 （3）证明： 又 ……12分 ………………-14分 5、（2009深圳一模）已知函数（，）． （Ⅰ）求函数的单调递增区间； （Ⅱ）若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围． 【解】（Ⅰ） ………………… 2分 ， 由，得． ，，． 又． 函数的单调递增区间为,递减区间为． ………… 6分 （Ⅱ）【法一】不等式，即为．……………（※） 令，当时，． 则不等式（※）即为． …………………9分 令，， 在的表达式中，当时，， 又时，， 在单调递增，在单调递减． 在时，取得最大，最大值为． …………………12分 因此，对一切正整数，当时，取得最大值． 实数的取值范围是． ………………………… 14分 【法二】不等式，即为．………………（※） 设， ， 令，得或． ………………………… 10分 当时，，当时，． 当时，取得最大值． 因此，实数的取值范围是． ………………………… 14分 6、（2009湛江一模）已知函数.（） （Ⅰ）当时，求在区间[1，e]上的最大值和最小值； （Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围． 解：（Ⅰ）当时，，；………………2分 对于[1，e]，有，∴在区间[1，e]上为增函数，…………3分 ∴，.……………………………5分 （Ⅱ）令，则的定义域为（0，+∞）. ……………………………………………6分 在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线下方等价于在区间（1，+∞）上恒成立. ∵ ① 若，令，得极值点，，………………8分 当，即时，在（，+∞)上有， 此时在区间(，+∞)上是增函数，并且在该区间上有 ∈(，+∞)，不合题意；………………………………………9分 当，即时，同理可知，在区间(1，+∞)上，有 ∈(，+∞)，也不合题意；………………………………………10分 ② 若，则有，此时在区间(1，+∞)上恒有， 从而在区间(1，+∞)上是减函数；……………………………………12分 要使在此区间上恒成立，只须满足， 由此求得的范围是[，]. 综合①②可知，当∈[，]时，函数的图象恒在直线下方. ………………………………………………14分 一、选择题 1．【广东韶关·文】9.已知函数，若实数是方程的解，且，则的值为 A A．恒为正值 B．等于 C．恒为负值 D．不大于 2．【潮州·理科】4、已知，，则有 D A B C D 3．【潮州·文科】4、定义域为的奇函数 C A 没有零点 B 有且只有一个零点 C 至少一个零点 D 至多一个零点 4．【潮州·文科】6、已知，，则有 A A B C D 5．【揭阳·理】4．（文科5）已知的图象如图所示，则C A． B． C． D．或 6．【汕头澄海区·文】10．若定义在R上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数是 B A．多于4个 B．4个 C．3个 D．2个 二、计算题 1．【珠海·理】20. （文科21）（本小题满分14分）已知是方程的两个实数根,函数的定义域为. (1)判断在上的单调性,并证明你的结论; (2)设,求函数的最小值. 解：（1）在上为增函数…………………………………..1分 ∵，∴，……….…………….3分 ∵ 当时，……………………………….4分 ∴ 当时，， ∴当时，，…………………………..5分 ∴，∴在上单增。………………………6分 （2）由题意及（1）可知，，，…………………7分 ∴……..8分 ∵，∴，……………..9分 ， ∴…………………………………………………..10分 令则 ∴，……………………………………………11分 ∵………………………………..…….12分 ∴在单增，……………………………………..……………..13分 ∴当时，。………………………………………………..14分