第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(小学高年级组·武汉)(时间:2013年4月20日10:00~11:
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题
A
参考答案
（小学高年级组）
一、填空题（
每题
10
分
,
共
80
分
）
题号
1 2 3 4 5 6 7
8
答案
25
2,
3
316
12 62 74 94
54
二、解答下列各题（
每题
10
分
,
共
40
分
,
要求写出简要过程
）
9.
解答
.
例如
3
4
)
4
4
4
(
,
4
4
)
4
4
(
4
,
5
4
)
4
4
4
(
,
6
4
4
)
4
4
(
.
10.
答案：
25
解答
.
设比小明小的学生为
x
人
,
比小华小的学生为
y
人
.
因为比小明大的学生
为
2
x
人
,
所以全班学生共
3
1
N
x
人
;
又因为比小华大的学生为
3
y
人
,
所以全
班学生共
4
1
N
y
人
.
这样
,
1
N
既是
3
的倍数
,
又是
4
的倍数
,
因此
1
N
是
3
4
12
的倍数
.
这个班学生人数大于
20
而小于
30,
所以
1
N
只可能是
24.
因
此这个班共有学生
24
1
25
N
人
.
11.
答案
：
1.375
解答
.
小虎划船的全部时间为
120
分钟
,
他每划行
30
分钟
,
休息
10
分钟
,
周期
- 2 -
为
40
分钟
,
所以一共可分为
3
个
30
分钟划行时间段
,
有
3
个
10
分钟休息
划船
时
,
顺水的船速与逆水的船速之比为
4.5:1.5=3:1.
因为小虎要把船划到离租船处
尽可能远
,
他在划船的过程中只能换一次划船的方向
,
而且是在尽可能远处
.
分
两种情况讨论
.
1)
开始向下游划船
,
设最远离租船处
x
千米
.
因为回到租船处是逆水
,
所以小虎
只有
110
分钟可用
.
由于划船时顺流速度是逆流速度的
3
倍
,
所以用在向下游划
船的时间不能超过半小时
.
另外两次休息时间只能用在返程
,
在休息期间内船向
下游漂流了
5
.
1
3
1
,
所以
5
.
1
5
.
1
5
.
1
3
1
5
.
4
x
x
.
整理上式得
75
.
6
5
.
1
3
x
x
,
25
.
5
4
x
,
3125
.
1
x
(
千米
).
2)
开始向上游划
,
设最远离租船处
y
千米
.
小虎可用
120
分钟
,
有两次休息时间
用在向上游
.
所以
5
.
1
5
.
4
5
.
1
6
1
5
.
1
5
.
1
3
1
y
y
.
整理上式得
75
.
6
5
.
1
6
5
4
y
,
5
.
5
4
y
,
375
.
1
y
(
千米
).
综合
1)
和
2)
的讨论
,
小虎的船最多离租船处
1.375
千米
.
12.
答案：
不能
解答
.
设放的最小自然数为
a
,
则放的最大自然数为
23
a
.
于是这
24
个数的和
为
).
23
2
(
12
a
A
假设可能
,
设每个正方形边上的数之和为
S
.
因为共有
5
个正方形
,
这些和
的和为
S
5
.
因为每个数在这些和中出现两次
,
所以有
- 3 -
.
2
5
A
S
记最小的
16
个数的和为
B
,
则
)
15
2
(
8
a
B
.
下面分两种情形讨论
:
(1)
若
S
B
,
则
)
15
2
(
8
)
23
2
(
5
24
5
2
a
a
A
S
,
120
16
4
.
110
8
.
9
a
a
,
不存在自然数
a
使得不等式成立
.
(2)
情形
S
B
也是不可能的
,
因为此时不可能选择最大正方形边上的
16
个数使得这
16
个数的和等于
S
.
三、解答下列各题（
每题
15
分
,
共
30
分
,
要求写出详细过程
）
13.
答案：
5
解答
.
用右图代替题目中的
1
2
小长方形
.
因为题目所给的小长方形上下不对称
,
所以同一个小长方形在拼成的上下对称的正方形中
,
不会既在上半部分也在下
半部分
.
这样
,
就可以只考虑上半部分的不同情形
.
1)
相邻的空白格在第一行最左边或最右边
.
因为要排除旋转相同的
,
所以
只考虑相邻空白格在最右边的情况
,
有下图所示的
2
种图形
,
2)
相邻的空白格在第一行中间
.
去掉旋转重合的
,
有下图所示的
3
种图形
,
所有不同的图形为
5
种
.
14.
答案：
6036
- 4 -
解答
.
令
2013
2
1
2012
2
1
2010
2
1
c
c
c
b
b
b
a
a
a
n
,
其中
,
所有的
i
a
数字和相同
,
所有的
j
b
数字和相同
,
所有的
k
c
数字和相同
.
两个
自然数数字的和相同
,
则它们除以
9
的余数相同
,
即
2010
,
,
2
,
1
,
9
i
r
u
a
i
i
,
2012
,
,
2
,
1
,
9
j
s
v
b
j
j
,
2013
,
,
2
,
1
,
9
k
t
w
c
k
k
.
则
,
2013
)
(
9
2012
)
(
9
2010
)
(
9
2013
2
1
2012
2
1
2010
2
1
t
w
w
w
s
v
v
v
r
u
u
u
n
(1)
由上面的等式可得
,
s
s
v
v
v
r
r
u
u
u
5
)
223
(
9
3
)
223
(
9
2012
2
1
2010
2
1
,
(2)
s
s
v
v
v
t
t
w
w
w
5
)
223
(
9
6
)
223
(
9
2012
2
1
2013
2
1
,
(3)
由
(2)
可以得出
s
是
3
的倍数
,
只能是
0,
3
或
6.
下面三种情况讨论
:
1)
0
s
.
此时
,
对
2012
,
,
2
,
1
j
,
因为
j
j
v
b
9
的数字和不为零
,
所以
1
j
v
.
则
18108
2012
9
)
(
9
2012
2
1
v
v
v
n
.
2)
6
s
.
此时
12072
6
2012
)
(
9
2012
2
1
v
v
v
n
.
- 5 -
3)
3
s
,
此时
6036
3
2012
)
(
9
2012
2
1
v
v
v
n
.
可以取
1
,
2
t
r
.
而
.
1
1
1
10
10
10
11
11
11
2
2
2
3
3
3
6036
2012
个
个
个
个
个
n
m
y
x
下面计算
x
,
y
与
m
,
n
,
,
6036
11
2
,
2010
y
x
y
x
,
6036
10
,
2013
n
m
n
m
解得
1786
x
, 224
y
,
447
m
,
1566
n
.
即
2012
3
1566
447
10
224
11
1786
2
6036
.
最终
,
满足条件的最小自然数是
6036.
再问： 你是来刷屏的？
再答： 复制的有问题，那时有点忙，没有处理 一、填空 1、 25 2 、 2.3 3、 316 4、 12 5、 62 6、 72 7、 94 8、 54 二、简答 9、解（4+4+4）/4=3 4-（4-4)*4=4 (4*4+4)/4=5 （4+4）/4+4=6 10、答案：25 11、答案：1.375 12、答案：不能 三、解答下列各题 13、答案：5 14、答案：6036 如果对你有所帮助， 请点击本页面中的“选为满意回答”按钮，谢谢！
