高数微积分求体积Let R be the region {(x,y): 0

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曲线y=3^x-x-1上的任意一点(x,y)到直线y=x的距离为：|3^x-x-1-x|/√2,
直线y=x在[0,1]区间的长度为√2,也就是说是水平距离的√2倍,
因此旋转体的体积为：
∫π(|3^x-x-1-x|/√2)^2 *√2 dx (x从0积到1)
＝π/√2 ∫ (4x^2+4x+1 + 9^x－2*3^x－4x*3^x) dx (x从0积到1)
＝π/√2 * [ (4x^3)/3+2x^2+x + 9^x/ln9－2*3^x/ln(3) －4x*3^x/ln3 + 4*3^x/(ln3)^2] (x从0积到1)
＝π/√2 *(13/3 + 8/(ln3)^2 + 8/ln9－16/ln3)
＝π/√2 *(13/3 + 8/(ln3)^2－12/ln3)
≈ 0.08607244