若函数f（x）=（a-3）x-ax 3 在区间[-1 ,1]上的最小值等于-3,则实数a的取 值范围是

【分析】
由函数f(x)=(a-3)x-ax³在区间[-1,1]上的最小值等于-3,由函数解析式先求其导函数,进而可判断函数在区间[-1,1]上的单调性,从而可求函数的最小值,即可.
由函数f(x)=(a-3)x-ax³求导函数为：
f′(x)=-3ax²+(a-3)
①当a=0时
f(x)=-3x
此时函数在定义域内单调递减
所以函数的最小值为：
f(1)=-3,符合题意
所以a=0符合题意；
②当a≠0时
f‘(x)=0
即：3ax²=a-3  
（I）当0＜a≤3时
f′(x)=-3ax²+(a-3)为开口向下的二次函数
且△=12a(a-3)≤0,f‘(x)≤0恒成立
所以函数f(x)在定义域上为单调递减函数
函数的最小值为f(1)=-3,此时符合题意；
（II）当a＜0或a＞3时
f′(x)=0
即：3ax²=a-3  
 解得：
x=±√[(a-3)/3a] 
①当-√[(a-3)/3a]≥-1
且√[(a-3)/3a]≤1
即：a≤-3/2时
函数f(x)
在[-1,-√[(a-3)/3a]]上单调递增
在[-√[(a-3)/3a],√[(a-3)/3a]]  上单调递减
在[√[(a-3)/3a],1]上单调递增
所以此时函数在定义域的最小值为：
f(-1)=-3
或
f(-√[(a-3)/3a])=[√(a-3)/3a]×[2-(2a/3)]
令
f(-√[(a-3)/3a])＞-3
解得：
a∈φ
② 当-√[(a-3)/3a]＜-1
且√[(a-3)/3a]＞1
即-3/2≤a≤12时
函数在定义域上始终单调递减
则函数在定义域上的最小值为：
f(1)=-3,符合题意.
综上所述：
当-3/2≤ a≤12 时符合题意
即实数a的取值范围是-3/2≤ a≤12.
 
由于公式复杂,怕你看不明白,特截图详细解题步骤如下：