如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中．求证：（1）B1D⊥平面A1C1B；（2）B1D与平面A...

(1)以B1为原点,B1C1,B1B,B1A1为x,y,z轴建系
并设棱长为3,则C1(3,0,0),B(0,3,0),A1(0,0,3)
即面A1BC1在坐标轴上的截距都是3
由截距式得面A1BC1的方程为x/3+y/3+z/3=1,即x+y+z-3=0
∴面A1BC1的法向量为n→=(1,1,1)
D(3,3,3),∴B1D→=(3,3,3)=3n→
∴B1D→∥n→
∴B1D⊥面A1BC1
(2)B1D→=(3,3,3)是直线B1D的方向向量
∴设直线BD1的参数方程为
x=3t
y=3t
z=3t
代入面A1BC1的方程,得3t*3-3=0,t=1/3
∴x=y=z=1,即H(1,1,1)
设△A1BC1的重心坐标为(x0,y0,z0),由重心坐标公式得
x0=(3+0+0)/3=1
y0=(0+3+0)/3=1
z0=(0+0+3)/3=1
即△A1BC1重心坐标为(1,1,1)
∴H是△A1BC1的重心