已知：如图.过平行四边形ABCD的顶点A的圆与AB、AC、AD分别交于P、Q、R,直线AC上取点E,使AQ．AE＝AR．

证明：
1、由AQ.AE=AR.AD得:AQ/AR=AD/AE,加上角DAE为公共角,所以 ΔAQR∽ΔADE
2、由于ARQP共圆,所以角ARQ+APQ=180,由ΔAQR∽ΔADE可得角ARQ=角AED,角AED+角DEC=180,所以得出角APQ=角DEC,加上条件 角CAB=角ACD,ΔAPQ∽ΔCED得证；
3、由上述两三角形相似可以推出:AP.AB+AR.AD=AP.DC+AR.AD=CE.AQ+AQ.AE=AQ.(CE+AE)=AQ.AC;