部分小于整体?
在一个盒子里,装着黑白两种围棋棋子,哪种颜色的棋子更多一些呢?有人说,数一数不就完了吗?不错,分别数出两种颜色棋子的数目,然后比较数字大小,这是一种办法；还有一种更简单的方法,那就是对应,每一次从盒子里取出一黑一白两种棋子,放到另一个盒子里,一直取下去,最后剩下哪种棋子,就判定这种颜色的棋子多,如果刚好数完,就说明两种颜色的棋子一样多．
前面说的都是盒子里的棋子数有限的情形,若盒子里的棋子数是无限的．那么,至少有一种颜色的棋子数是无限的．这样,我们就无法确切数出这样颜色的棋子数,因而前一种方法在这儿行不通．后一种方法适用吗?如果若干次之后,只剩下某种颜色的棋子,说明这种棋子多,并且是无数多个,如果每拿出一个黑的,总能拿出一个白的,并且每拿出一个白的,也能拿出一个黑的,那么就说明棋子数一样多了,并且都是无数多个．
整体大于部分,这是一条古老而令人感到无可置疑的真理．哲学是如此,事物内部总是存在千丝万缕的联系,为了精确地分析万物的本质,我们通通先割裂它们．分别对事物的各个部分进行考察,但整体大于部分,它甚至大于各部分之和．从数学上来看,这一条真理真的和它看起来一样吗?17世纪的科学家伽利略发现,从数量上考察,涉及到数目无限时,情形就不一样了．
伽利略在《对话》中有这样的注"平方数的个数不小于所有的总数,所有数的总数也不大于平方数的个数",表面上看起来,平方数的集合是所有数的集合的一个子集,属于明显的整体与部分的关系,伽利略的注解认为,它们的个数是一样多的,不妨用对应的思想来解释一下：
…1 2 3 4 5 6 7 8 9 … n …
…1 4 9 16 25 36 49 64 81… n2 …
每一个自然数,总能找到一个平方数与之对应,相反,每一个平方数也一定能找到一个自然数与之对应,那么这两个数的集合是一一对应的,也就是说自然数和平方数的个数是一样多的．
像这样的情形还有许多,整数和偶数是一样多的,整数与奇数也是一样多的,只要部分和整体的元素之间能建立一一对应的关系,那么它们含有同样多的元素．
在这个思想的启发下,19世纪后期德国数学家康托尔创立了集合论．它揭示出部分可以和整体之间建立起一一对应关系,这正是含有无穷多个元素的集合的本质属性之一．它告诫人们：不要随便把有限的情形下得到的定理应用到无限情形中去．
