证明这个函数的在整个定义域内连续,可导,可积省略.
下面证明∫sint/tdt=π/2(积分上限为∞,下限为0）
因为sint/t不存在初等函数的原函数,所以下面引入一个“收敛因子”e^(-xt)(x>=0),转而讨论含参量的积分.
I(x)=∫e^(-xt)sint/tdt (积分上限为∞,下限为0）
显然：
I(0)=∫sint/tdt(积分上限为∞,下限为0）
I`(x)=∫∂（e^(-xt)sint/t)/∂x dt (积分上限为∞,下限为0）
=∫e^(-xt)sin(t)sint(积分上限为∞,下限为0）
=e^(-xt)(xsint+cost)/(1+x^2)|(上限为∞,下限为0）
=-1/(1+x^2)
从而有
I(x)=-∫(1/(1+x^2))dx=-arctan(x)+C (1)
|I(x)|=|∫e^(-xt)sint/tdt|
≤∫|e^(-xt)sint/t|dt
≤∫e^(-xt)dt
=-(1/x)*e^(-xt)|(对t的积分原函数,上限为∞,下限为0）
=1/x －－>0 (x－－>+∞)
即lim(I(x))－－>0 (x－－>+∞)
对（1）式两端取极限：
lim(I(x))(x－－>+∞)
=-lim(-arctan(x)+C ) (x－－>+∞)
=-π/2+C
即有0=-π/2+C,可得C=π/2
于是（1）式为
I(x）=-arctan(x)+π/2
limI(x）=lim(-arctan(x)+π/2) (x－－>0)
I(0)=π/2
所以有
I(0)=∫sint/tdt(积分上限为∞,下限为0）=π/2
因为sinx/x是偶函数,所以
∫sint/tdt(积分上限为∞,下限为-∞）
=π
这个地方些数学公式很是不方便的.另外也可以用复变函数来求解的.如果有不懂的地方问我.
