2011全国高中数学联赛陕西省预赛第8题

因为2q+11是质数,所以3不是它的约数,当q不是3的时候,q是质数,则q=3k+1,q=3k+2,而当q=3k+2时,2q+11=6k+15是3的倍数,所以可以设q=3k+1.
本题的解答第一是要能看出PQ中一定有一个偶数,否则7p+q是偶数,不会是质数了,所以pq中一定有一个是2.第二点,就是前面的分析,如果q不是3,一定就不是2,是q=3k+1的形式.从而确定p=2.
再把q=3k+1,p=2代入7p+q=15+3k是3的倍数,得到矛盾.确定q=3.
2是唯一的偶质数,在解质数类问题中常用!
3k+1,3k+2,3k,是3的一个同余系的设法.
在本题中,要求的式子和题设关联不大,其实就是提问pq的值是多少,而且这个值肯定不大,从2和3入手是最佳点.