设在[0,1]上连续,在（0,1）内可导且∫0到1f（x）dx=∫0到1xf(x)dx=0,证明：存在ξ∈（0,1）使得

证：设g(x) = ∫(0到x) (1-x) f(x) dx
∫0到1f（x）dx=∫0到1xf(x)dx=0 ,∫(0到1) (1-x)f（x）dx =0 即 g(1) =0
又g(0) =0
g(x) 在[0,1]上连续,在（0,1）内可导,满足罗尔定理条件
存在ξ∈（0,1）使得 g'(ξ) =0
即 g'(ξ) =(1-ξ) f(ξ) = 0,ξ 不等于1
f(ξ) = 0