设V是数域P上的n维线性空间,W是V的子空间,证明：W是某个线性变换的核.

设V是数域P上的n维线性空间,W是V的一个s维子空间,那么,
取定W的一个基：E1,E2,...,Es,
将W的这个基扩充为V的一个基,记为,E1,E2,...,Es,Es+1,...,En
现在我们构造一下从V→V的线性变换Γ,对任意的一个V中的元素X=X1E1 + X2E2 + ...+ XnEn,对应关系如下：
Γ ：V→V
Γ 将X=X1E1 + X2E2 + ...+ XnEn 对应到 元素Xs+1Es+1 + ...+ XnEn
即,将X对应到它的后面的(n-s)个分量里去.
容易验证Γ(X+Y)=Γ(X)+Γ(Y) 任意X,Y属于 V
Γ(kX)=kΓ(X),任意k属于数域 P
从而Γ是一个V→V的线性变换.
并且 对任意的X属于W,按以上构造的定义必有Γ(X)=0
因此,我们构造出来的这个线性变换Γ,满足 ker Γ=W
证毕.