微积分 悖论 求大神解释（要给出具体例子）

这个说法是错误的.
前面说的都没错,一直到”所以这些区间盖住了所有
的有理数也就盖住了所有的无理数“这句话上.
这里出现了一个逻辑错误,小明要说明任意无理数被盖住
那么你需要说明的是对任意无理数b,存在一个n,使得
盖住an的那个长度为ε/2^n的区间盖住b.而不是说离b任意
近都有有理数所以b一定能被盖住.
举一个不太一样但比较好理解的例子,比如一个数列{1/n}
显然有1/n->0.现在我用区间(1/(n+1/2),1/(n-1/2))来覆盖1/n
那么我们能说因为离0任意近都有该数列中的数,所以盖住
这整个数列的这些区间的并一定能盖住0吗?显然这是不行的.
因为不管n有多大,0都不属于任何区间(1/(n+1/2),1/(n-1/2)).
再回到这个题本身,因为对固定n时,总有|b-an|>0,
这是个定值,而此时如果ε/2^n