求I=∫∫ xz^2dydz+(y*x^2-z^3)dzdx+(2xy+z*y^2)dxdy /x^2+y^2+z^2,

题目条件中少写了一点：上半球面取上侧
由积分曲面方程知：x²+y²+z²=a²
则分母化为a²变成常数提出；
补平面Σ1：z=0,x²+y²≤a²,下侧
则曲面变为封闭曲面,用高斯公式：
(1/a²)∫∫ xz²dydz+(x²y-z³)dzdx+(2xy+y²z)dxdy
=(1/a²)∫∫∫ (z²+x²+y²) dxdydz
球坐标
=(1/a²)∫∫∫ r²r²sinφ drdφdθ
=(1/a²)∫[0→2π] dθ∫[0→π/2] sinφdφ∫[0→a] r^4 dr
=(1/a²)2π*1*(1/5)r^5 |[0→a]
=(2/5)πa^3
下面计算补的平面Σ1上的积分：
∫∫(Σ1) xz²dydz+(x²y-z³)dzdx+(2xy+y²z)dxdy
=-∫∫ 2xydxdy
由对称性
=0
因此本题结果为：
(2/5)πa^3-0=(2/5)πa^3