函数的近代定义相比传统定义,其严密性体现在哪里?

函数的运动变化的传统定义并未完全揭示出函数概念的本质,近代数学发展将函数定义为两个集合之间的一种映射,按照这种观点,函数是两个数集（或其某个子集）之间的一种特殊的映射,这样就使人们对函数概念有了更深一层的认识.
例如,对于函数f(x)=1(当x是有理数时）
=0（当x是无理数时）
如果用运动变化的观点去看它,就不好解释,显得牵强.但如果用映射的观点看,就显得非常自然.
传统定义的出发点是运动变化的观点,有明显的物理意义,它把运动变化过程中的互相依赖的两个变量x、y对应起来；近代定义则利用集合、对应的观点,对应法则是将原象集合中的任意一个元素与象的集合中的唯一确定的元素对应起来,舍弃了物理意义,上升到了纯数学的角度