如图,在正方形ABCD中,E为AD中点,EF⊥EC交AB于F,连接FC ,求证△AEF∽△ECF
证明：延长BA和CE交于点G
E为AD中点
则AE=1/2AD=BC
FE⊥GC
FE是BC的垂直平分线
所以△FGE≌△FCE
∠G=∠FCE
∠G=∠FEA(等角的余角相等）
∠FEA=∠FCE
∠EAF=∠FEC
所以
△AEF∽△ECF
如图,在△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C做CF‖AB,延长BP交AC于E,交CF于F,求证：PB是PE,PF的比例中项.
连接CP.
因为 AB=AC,AD是中线,由等腰三角形三线合一的性质可得,
AD⊥BC,
AD是BC是中垂线
则 BP=CP.
又由AB=AC,BP=CP 可得
∠ABC=∠ACB,∠PBC=∠PCB,
所以 ∠ABP=∠ACP .
由 CF‖AB 可得 ∠F=∠ABP,
所以 ∠ACP=∠F,又∠CPE是公共角
所以 △PCE∽△PFC
则 PC/PF = PE/PC
所以 PC²= PE × PF
PC=PB
PB² = PE × PF
证毕
