1．椭圆的几何性质
根据曲线的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形,是解析几何的基本问题之一．根据曲线的条件列出方程．如果说是解析几何的手段,那么根据曲线的方程研究曲线的性质、画图、就可以说是解析几何的目的．
下面我们根据椭圆的标准方程 来研究椭圆的几何性质．
（1）范围
引导学生从标准方程 ,得出不等式 , ,即 , ．这说明椭圆的直线 和直线 所围成的矩形里（如图）,注意结合图形讲解,并指出描点画图时,就不能取范围以外的点．
（2）对称性
先让学生阅读教材中椭圆的几何性质2．
设问：为什么“把 换成 ,或把 换 ,或把 、 同时换成 、 时,方程解不变．则图形关于 轴、 轴或原点对称”呢?
事实上,在曲线方程里,如果把 换成 ,而方程不变,那么当点 在曲线上时,点 关于 轴的对称点 也在曲线上,所以曲线关于 轴对称．类似地可以证明其他两个命题．
同时应向学生指出：如果曲线具有关于 轴对称,关于 轴对称和关于原点对称中的任意两种,那么它一定具有另一种对称．
最后强调： 轴、 轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．进而说明椭圆的中心是焦点连线的中点,对称轴是焦点的连线及其中垂线与坐标系无关．因而是曲线的固有性质．
（3）顶点
引导学生从椭圆的标准方程 分析它与 轴、 轴的交点,只须令 得 ,点 、 是椭圆与 轴的两个交点；令 得 ,点 、 是椭圆与 轴的两个交点．应该强调：椭圆有四个顶点 、 、 、 ．
同时还需指出：
（1°）线段 和 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于 和 ；
（2°） 、 的几何意义： 是椭圆长半轴的长, 是椭圆短半轴的长．
（3°）椭圆的顶点即是椭圆与对称轴的交点,一般二次曲线的顶点即是曲线与其对称轴的交点．
这时教师可作如下小结：由椭圆的范围,对称性和顶点,再进行描点画图,只须描出较少的点,就可以得到较正确的图形．
（4）离心率
由于离心率的概念比较抽象,教师可直接给出离心率的定义：
椭圆的焦距与长轴长的比 ,叫做椭圆的离心率．
先分析离心率 的取值范围：
∵ , ∴ ．
再结合图表分析离心率的大小对椭圆形状的影响：
（1）当 趋近于1时, 趋近于 ,从而 越小,因此椭圆越扁平：
（2）当 趋近于0时, 趋近于0,从而 趋近于 ,因此椭圆越接近于圆．
2..文字语言定义
平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数.定点是双曲线的焦点,定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率.
2.集合语言定义
设 双曲线上有一动点M,定点F,点M到定直线距离为d, 这时称集合{M| |MF|/d=e,e>1}表示的点集是双曲线. 注意:定点F要在定直线外 且 比值大于1.
3.标准方程
设 动点M(x,y),定点F(c,0),点M到定直线l:x=a^2/c的距离为d, 则由 |MF|/d=e>1. 推导出的双曲线的标准方程为 (x²/a²)-(y²/b²)=1 其中a>0,b>0,c²=a²+b². 这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程. 而中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程为: (y²/a²)-(x²/b²)=1. 同样的：其中a>0,b>0,c²=a²+b².
编辑本段·双曲线的简单几何性质
1、轨迹上一点的取值范围：x≥a,x≤-a（焦点在x轴上）或者y≥a,y≤-a（焦点在y轴上）. 2、对称性：关于坐标轴和原点对称. 3、顶点：A(-a,0), A’(a,0).同时 AA’叫做双曲线的实轴且∣AA’│=2a. B(0,-b), B’(0,b).同时 BB’叫做双曲线的虚轴且│BB’│=2b. 4、渐近线： 焦点在x轴：y=±(b/a)x. 焦点在y轴：y=±(a/b)x. 圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时,表示双曲线.其中p为焦点到准线距离,θ为弦与X轴夹角 令1-ecosθ=0可以求出θ,这个就是渐近线的倾角.θ=arccos（1/e） 令θ=0,得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e 令θ=PI,得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e 这两个x是双曲线定点的横坐标. 求出他们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标） x=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 （注意化简一下） 直线ρcosθ=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 是双曲线一条对称轴,注意是不与曲线相交的对称轴. 将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程,设旋转后的角度是θ’ 则θ’=θ-【PI/2-arccos（1/e）】 则θ=θ’+【PI/2-arccos（1/e）】 带入上式： ρcos{θ’+【PI/2-arccos（1/e）】}=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 即：ρsin【arccos（1/e）-θ’】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 现在可以用θ取代式中的θ’了 得到方程：ρsin【arccos（1/e）-θ】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 5、离心率： 第一定义： e=c/a 且e∈（1,+∞). 第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e. d点（│PF│）/d线（点P到定直线(相应准线)的距离）=e 6、双曲线焦半径公式（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离） 右焦半径：r=│ex-a│ 左焦半径：r=│ex+a│ 7、等轴双曲线 一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2a=2b 且 e=√2 这时渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴） 8、共轭双曲线 双曲线S’的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S’的虚轴是双曲线S的实轴时,称双曲线S’与双曲线S为共轭双曲线. 几何表达：S：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S’：(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 特点：（1）共渐近线 （2）焦距相等 （3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1 9、准线： 焦点在x轴上：x=±a^2/c 焦点在y轴上：y=±a^2/c 10、通径长：（圆锥曲线（除圆外）中,过焦点并垂直于轴的弦） d=2b^2/a 11、过焦点的弦长公式： d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 或 2p/sin^2θ [p为焦点到准线距离,θ为弦与X轴夹角] 12、弦长公式： d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推导如下： 由 直线的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2) 得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k 分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)² ] 稍加整理即得： |AB| = |x1 - x2|√(1 + k²) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k²)
编辑本段·双曲线的标准公式与反比例函数
X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0) 而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0) 但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的 因为xy = c的对称轴是 y=x, y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴,y轴 所以应该旋转45度 设旋转的角度为 a （a≠0,顺时针） (a为双曲线渐进线的倾斜角) 则有 X = xcosa + ysina Y = - xsina + ycosa 取 a = π/4 则 X^2 - Y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2 = (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2 = 4 (√2/2 x) (√2/2 y) = 2xy. 而xy=c 所以 X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0) Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c
