求证(a^2+bc)/a(b+c)+(b^2+ac)/b(a+c)+(c^2+ab)/c(a+b)≥3

可以分成两个不等式来证:
a²/(a(b+c))+b²/(b(c+a))+c²/(c(a+b)) = a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b) ≥ 3/2.
与bc/(a(b+c))+ca/(b(c+a))+ab/(c(a+b)) = bc/(ca+ab)+ca/(ab+bc)+ab/(bc+ca) ≥ 3/2.
注意到第二个不等式若换元x = bc, y = ca, z = ab, 则变为x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y) ≥ 3/2.
因此只需证明第一个不等式.
a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)
= (a+b+c)/(b+c)+(a+b+c)/(c+a)+(a+b+c)/(a+b)-3
= (a+b+c)(1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b))-3
= 1/2·((b+c)+(c+a)+(a+b))(1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b))-3
≥ 1/2·(1+1+1)²-3 (Cauchy不等式)
= 3/2.