怎样将几何画板与数学教学联系

从高中数学教学内容来看,代数、三角函数、解析几何、立体几何、平面向量部分都可以充分使用几何画板软件.几何画板软件的使用为数学教学提供了良好的学习环境,使学生的主体地位得以真正确立,使自主学习、探究学习、协作学习得以真正实现,激发学生的学习兴趣,培养了创新精神和实践能力.学习新的数学知识、探究数学问题、应用数学解决实际问题、数学创新、研究性学习等数学教学内容在信息技术的支持下获得了新的发展动力,得以更高效、深刻地内化为学生的数学素养. 从高中数学教学形式来看,必修课、课外活动、选修课、研究性学习都可以进行有关的渗透. 一、在函数教学中使用几何画板 1．表现两个变量之间形象的函数关系. 6 4 2 -2 -4 -5 5 几何画板4.03可以直接输入函数解析式,得到函数具体的图像.通过参数的灵活使用,可以画出大量的相近的图像,便于对某类函数性质的研究与学习. 例如：函数y=ax+b/x(ab不等于零)的图象和性质的探究 首先研究问题要遵循从特殊到一般在从一般回到特殊的原则；其次在研究一个多变量的问题时,要注意合理分类、类比的研究策略；最后注意分类讨论、数形结合的思想方法在解题中应用. 通过从最简单的函数f(x)= x + 1/x出发进行研究,从而推广到函数f(x)= x + 2/x,f(x)= x + 3/x,f(x)= x + 4/x,进而抽象出f(x)= x + a/x（a>0）的图象和性质,在利用该函数的性质研究函数的最值.在研究过程中体会从特殊到一般,再从一般到特殊的认识规律,体会从个别特殊发展到一般,一般存在于个别之中这一辨证思想的具体运用. 在研究过程中,学生动手,动脑,自主研究利用计算机解决问题,提高研究效率,激发学生大胆猜想,勇于创新的意志品质,并在解决问题过程中体会数形结合、类比等数学思想. -2 2 1 -1 -2 2 2．表现平面图形的变换. 平面图形的变换是图形绘制的一个基础知识.中学数学教材中各种函数图象研究以及曲线方程的讨论都涉及到图象的变换,我们应当看到各种曲线的变换规律在理论与方法上是一致的.利用几何画板研究对任意函数y=f(x)变换的一般规律. 3．用几何画板作分段函数的图象. 利用新版几何画板的图象“属性”菜单,可以对函数自变量的取值范围直接进行限制,从而达到作分段函数图象的目的. 下面以函数 为例来说明做法 充分利用新版几何画板增加的新功能――函数图象的范围可以限制这一特点,分段作各个部分的图象.具体操作如下： （1）单击“图表”菜单中的“定义坐标系”命令,建立直角坐标系； 4 2 -2 -4 -5 5 （2）单击“图表”菜单中的“绘制新函数”命令,输入函数式：3x＋12 单击确定.画出一直线. （3）选中直线,按右键,在弹出的菜单中选“属性”命令,再选其中的“图象”命令,在“范围”处将上限改为－3,单击确定. （4）重复（2）（3）,但在输入函数时改为：x2+2x ； （5）再重复（2）（3）,但在输入函数时改为：－2x＋6 则可得成图.如图： 这种方法作分段函数的图象,既快速,又简单、准确.同时又体现了段函数分段处理的数学方法. 4．可以改变区间的函数图像制作方法： （1）区间的构造；[a,b] a用参数控制或是x轴上动点的横坐标；b用a表示或用平移得到.在连接得线段AB； （2）在线段AB上,任取一点C,度量C点横坐标 ； （3）计算：按函数表达式计算 ； （4）依次选择 , 这两个度量结果,构造点P（ , ）； （5）选择点P和点C构造轨迹即可. （6）在按照原来 解析式直接制作函数图像,并选择图像使线形为虚线即可. 二、在平面几何、立体几何教学中使用几何画板 1．表现空间图形的不同观察角度. “几何画板”能制作出由操作者控制视角的各种立体几何图形,使学生能从任何方向来观察它们及这些几何体上的线段与截面,在让学生观察实物的基础上,再调用这些课件,学生都能看到这些可动态变化的几何体,不仅看得比较清晰,而且能多角度进行观察,弥补了实物观察时的不足之处,又能在实物与图形之间建立了一个中间环节,更有利于对空间图形的想象,这对逐步提高学生的空间想象能力是极好的教具与学具. 2．表现几何图形性质的普遍意义. 几何性质是具有普遍意义的,但我们只能从个别、具体的例子入手学习.应用“几何画板”制作课件,较好的解决了这个矛盾.“几何画板”制作的课件能让每个具体的图形运动起来,而且在这个运动的过程中,能保持给定的几何关系.例如：在探究“三角形三条中线交于一点.”这个性质时,我们在一个三角形中作出两条中线之后,再作第三条中线正好经过这两条中线的交点,这个交点就是三角形的重心,而度量交点分中线所成两条线段,会发现它们的比为2:1.为了说明这个性质的普遍意义,可再制作一个“动画”按钮,或拖动三角形的顶点,使三角形运动变化,但在变化过程中,这三条中线始终交于一点.这样学生对任何一个三角形都具有这个性质,有很深的印象. 三、在解析几何教学中使用几何画板表现各种数学现象的运动过程. 物体的运动过程用语言与文字很难表达清楚,但用图形能达到一种新的意境.例如：椭圆是用轨迹来定义的,而轨迹是用运动来表现的,我们用“几何画板”制作了到两个定点距离之和为定值的一个动点,并度量出这个动点到两个定点之间的距离,再计算出这两个距离之和,在这个课件中学生能清晰看到动点的运动轨迹,对椭圆轨迹留下鲜明的印象. 运动点 A B F 1 F 2 M 方法一：依据椭圆的第一定义作图： （1）作一线段AB使其长为2a；p为线段上任意一点；得线段PA、PB； （2）建立坐标系；绘制两个焦点 , ；分别以 、 为圆心,PA、PB为半径构造圆；再选择两圆构造两圆交点； （3）选择点P和其中的一个交点构造轨迹；再选择点P和另一个交点构造轨迹即可； 注：构造某点轨迹,需要同时选择相关点. 运动点 方法二：依据椭圆的第一定义作图： （1）画出一个以 为圆心,2a为半径的圆； 在圆的内部； （2）在圆上任取一点P；连接 ；构造 中垂线；再过点P和点 构造线段（或直线）；构造中垂线与线段（直线） 的交点； （3）选择点P和交点构造轨迹即可. 方法三：依据椭圆的第二定义作图 （1）先定义离心率e；方法：在线段AB上取一点C,度量后计算 ；并标记比值； （2）作一条长度可调节的线段DE,并在线段DE上任取一点M；标记中心D；选择点M,变换/缩放/ 选择.,得到点M’； （2）作出定直线,和定点F； （3）过F作出定直线的垂线,得到垂足H；标记向量DM；选择点H, 菜单：变换/平移/标记,得到H’； （4）以F为圆心,DM’的长为半径构造圆；过H’作定直线的平行线与圆相交；构造交点； （5）选择点M和交点构造轨迹即可. 方法四：依据椭圆的参数方程 作图 （1）分别作出半径分别为a和b的两个同心圆,圆心为O； （2）在大圆上任取一点P；连接OP交小圆于一点A； （3）过P作x轴的垂线,过A作y轴的垂线;构造他们的交点M； （4）选择点P和交点构造轨迹即可. 当然还有好几种椭圆作法,在这里不再一一介绍.学生在学习和发现椭圆的每一种作法过程中,都会对椭圆有新的认识,同时自然而然地在分析问题、解决问题过程中提高能力,掌握知识、培养探索精神. 四、在学生中开展学习“几何画板”活动,提高学生的计算机的应用能力及实践与创新的能力. 1．“几何画板”是学生进行数学实验的重要工具. 现在的数学教学不仅要培养学生计算、演泽等具有根本意义的严格推理的能力,还培养学生预感试验,尝试归纳、“假设——检验”、简化然后复杂化,寻找相似性等非形式推理或似真推理的能力.只有这样,数学课程的创造性气质才算提高.实验方法在数学科学中的作用愈来愈被重视,而“几何画板”的使用,使学生进行数学实验多了一件有用的工具,使得在课堂上让每个学生进行数学实验成为可能.这种数学实验,对学生主体意识的形成,主动参与数学实践本领的提高,自行获取数学知识的能力培养,都将发挥作用. 2．用“几何画板”开展探究性学习活动提高了学生的创新和实践能力. 用“几何画板”开展探究性学习活动大大转变了教师的教学方式和学生的学习方式,促进了学生创新和实践的能力,产生了师生互动的生动教育局面. 这类问题,虽然题目各不相同,但在“几何画板”中的探究过程却几乎是一致的,做多了,有的学生对用“几何画板”探究这类带有参数的函数问题进行归纳、建模：⑴建立参数；⑵建立带有参数的函数；⑶作出函数图象,⑷改变参数,观察函数图象的变化,探究性质；⑸验证或证明探究所得到的性质,或举例否定这个性质.用“几何画板”开展探究性学习活动,通过学生自身的操作和主动参与,学生发现问题和解决问题,创新和实践能力提高迅速我始料不及的. 3．开展学习“几何画板”活动,提高了学生应用计算机的意识和能力. 学习“几何画板”,不仅有利于数学教学,而且也有利于信息科技的学习.由于“几何画板”与学生的学习生活有紧密的联系,学生学习了“几何画板”,使计算机成为学生学习中的工具而经常使用,这将提高学生在学习、生活中应用计算机的意识,也将有效的提高学生计算机的应用能力.为了有效地在数学教学中让学生主动参与数学实践,培养学生自行获取数学知识的能力,我通过选修课、课外活动、研究性学习教授几何画板知识.在教学过程中,寓教于乐,学生不仅掌握了“几何画板”的使用,而且在学习过程中提高了对一些重要数学概念的认识——如对函数的认识,提高多方面的能力——如探究问题,解决问题的能力. 附录：几何画板部分培训内容 1、点：自由点；固定点；线段上的点；直线上的点；坐标轴上的点；圆上的点；曲线上的点；度量点的坐标；标记（旋转）中心；交点的构造； 2、线段：通过两点构造线段；自由线段；可在x轴上滑动的线段（标识向量、参数法、用圆去截、平移等）；用一次函数限定定义域得线段；圆上的动点确定的线段；度量线段；标识向量； 3、直线：自由的直线；固定的直线；方程x=a；函数y=kx+b；过定点的直线（方程y=k(x-x0)+y0 或过定点与圆上动点构造直线）；平行直线系（方程y=kx+b,k为常数,b为参数或用几何方法过动点构造平行线）； 4、圆：自由的圆；固定的圆；圆心定半径变的圆；圆心动半径定的圆；半圆的几何构造；半圆的函数构造 , ；可与直线构造交点的圆；不能构造交点的圆；圆的内部；单位圆；