由线段演化为宇宙天体的模型

用哈密顿算符描述的量子系统,取代了最初用哈密顿函数描述的量子化经典系统（例如对于电子和光子）.这些系统被假定是保守的,即非耗散的,对于时间逆转具有不变性,因而是满足能量守恒定律的.量子系统的状态用希尔伯特空间的矢量（波函数）来描述数学化一些的语言来说,复杂系统的微观观点是用态矢的演化方程来描述的,方程中每一分量都依赖于空间和时间.这些分量可以代表流体的速度分量,它的温度场,或化学反应中的化学物质的浓度.协同学的役使原理允许我们消除代表着稳定模的自由度.在主要的近似中,相应于这些系统的非线性,演化方程转变成特殊形式,在此出现了模式之间的竞争.不稳定模的主导项的幅度称为序参量M是此n维相空间的吸引子的子集.现在,让相空间被边长为E的立方体所覆盖.设N（ε）是立方体的数目,立方体中包含了吸引子M的片断.如果ε收缩到零（ε→O）,那么N（ε）与ε的对数比值的负极限即D＝－lim InN（ε）/lnε被称作分形维.
如果此吸引子是一个点（图2．14a）,则分形维为零.对于稳定的极限环（图2．9）,分形维为1.但是对于混沌系统,分形维不是一个整数.一般地,分形维只可能通过数值计算得到.对于洛仑兹模型,奇怪吸引子的分形维D≈2．06±0．01.