问题描述：
三道数学题,因该不难.sin,cos,tan
x=?
cos3x - 3cosx = cos2x + 1
忘了放第二，第三题了：
让三角形 ABC 的 三个角是 证明：
cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin0.5A sin0.5B sin0.5C
和
sin^2 A + sin^2 B + sin^2 C = 2 + 2 cosA cosB cosC
问题解答：
我来补答
1 、用三倍角公式和二倍角公式：
cos3x - 3cosx = cos2x + 1
(4cos³x-3cosx)-3cosx=(2cos²x-1)+1
2cos³x-cos²x-3cosx=0
(2cosx-3)(cosx+1)cosx=0
考虑到-1≤cos≤1,解得cosx=-1或cos=0
那么x=2kπ+π或x=kπ+π/2 其中k∈Z
2、用和差化积公式
A+B+C=π A/2+B/2+C/2=π/2
cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=1-2cos²[(A+B)/2]
sin(C/2)=sin(π/2-A/2-B/2)=cos(A/2+B/2)
所以
左边=cosA+cosB+cosC
= 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]+1-2cos²[(A+B)/2]
= 1 + 2cos(A/2+B/2)[cos(A/2-B/2)-cos(A/2+B/2)]
= 1 + 2sin(C/2)[2sin(A/2)sin(B/2)]
= 1 + 4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
=右边
3、A+B+C=π
sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB
所以：
左边=sin²A+sin²B+sin²C
=sin²A+sin²B+(sinAcosB+cosAsinB)²
=sin²A+sin²B+sin²Acos²B+cos²Asin²B+2sinAcosBcosAsinB
=(sin²A+cos²Asin²B)+(sin²B+sin²Acos²B)+2sinAsinBcosAcosB
=[sin²A+cos²A(1-cos²B)]+[sin²B+(1-cos²A)cos²B]+2sinAsinBcosAcosB
=[sin²A+cos²A-cos²Acos²B]+[sin²B+cos²B-cos²Acos²B]+2sinAsinBcosAcosB
=2-2cos²Acos²B+2sinAsinBcosAcosB
=2+2cosAcosB(sinAsinB-cosAcosB)
=2+2cosAcosBcosC
=右边
