一般地,对于函数f(x) （1）如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x)那么函数f(x)就叫做偶函数. （2）如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数. （3）如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)和f(-x)=f(x),(x∈D,且D关于原点对称.)那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数. （4）如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数. 说明：①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言. ②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性. （分析：判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论） ③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义. ④如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义,则这个函数在x=0处的函数值一定为0.
编辑本段奇偶函数图像的特征
定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图形,偶函数的图像关于y轴成轴对称图形. f(x)为奇函数＜＝＞f(x)的图像关于原点对称 点（x,y）→（-x,-y） f(x)为偶函数＜＝＞f(x)的图像关于Y轴对称 点（x,y）→（-x,y） 奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增. 偶函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减.
编辑本段证明方法
（1）定义法：函数定义域是否关于原点对称 （2）图像法： f(x)为奇函数＜＝＞f(x)的图像关于原点对称 点（x,y）→（-x,-y） f(x)为偶函数＜＝＞f(x)的图像关于Y轴对称 点（x,y）→（-x,y） （3）性质法 利用一些已知函数的奇偶性及以下准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数.
编辑本段性质
1、偶函数没有反函数（偶函数在定义域内非单调函数）,奇函数的反函数仍是奇函数. 2、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反,奇函数在定义内关于原点对称的两个区间上单调性相同. 3、奇±奇＝奇 偶±偶＝偶 奇X奇＝偶 偶X偶＝偶 奇X偶＝奇（两函数定义域要关于原点对称） 4、对于F（x）=f[g(x)]：若g(x)是偶函数,则F[x]是偶函数 若g(x)奇函数且f(x)是奇函数,则F（x）是奇函数 若g(x)奇函数且f(x)是偶函数,则F（x）是偶函数 5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称
