如果将一个数写成千进位数,那么这个数奇数位上的数字之和与偶数位上数字之和的差能被7(13)整除,那么这个数就能被7(13

问题描述:

如果将一个数写成千进位数,那么这个数奇数位上的数字之和与偶数位上数字之和的差能被7(13)整除,那么这个数就能被7(13)整除.这句话怎么理解?请举实例.
1个回答 分类:数学 2014-12-03

问题解答:

我来补答
怎么理解能被7(13)整除的数的这一特征呢?
首先,我们要了解什么是千进位数?千进位数,通俗地说就是逢千进一的数.即十进位制时的一、二、三位数就是千进位制时的一位数;十进位制时的四、五、六位数就是千进位制时的二位数,依此类推……比如:(324)10 [注:括加下标表示该数的进位制,如:二进位制(101101)2,八进位制(83212)8,十六进位制(A18F3)16.]在千进位制时是一个一位数,(1243)10才算两位数,(8888888)10才算三位数.了解了千进位数,开头的这句话就不难理解了.即把一个十进位数改成千进位数,再作上述的和、差处理,其结果能被7(13)整除,那么,原数就能被7(13)整除.
如何实现十进位数与千进位数的转换呢?笔者曾搜索大量资料,并未找到专门的记数法则,所以不妨采用适用于任意进位制的“位置记数法”来记录,即预先确定一个自然数p>1,如果一个自然数A满足pn≤A<pn+1,就可把它写成A=a0+a1p+a2p2+a3p3+…anpn(an≠0)的形式,其中0≤ai<p(i=0,1,2,…,n).由p这样决定的进位制称为“p进位制”.如果预先选定p个不同的记号来记录从0到p-1这p个自然数,p进位制的自然数可以用“位置记数法”来记录.例如上面的A就记成A=anan-1…a1a0,这里的每个ai都是选定的p个记号之一.
以此方法可推,在千进位制中,则有p=1000,我们不妨将0到999这1000个自然数记作a000,a001…a999,则可将任何一个十进位数改写成千进位数.例如:因为3245=245+3×1000,所以(3245)10=(a003a245)1000.又如:因为8888888=888+888×1000+8×10002,所以(8888888)10=(a008a888a888)1000.这样一来,十进位制与千进位制转换就实现了,我们就可这样应用开头的那句话了.如要检验85596576能否被13整除,可写成(85596576)10=(a085a596a576)1000,则奇数位上为a576、a085,偶数位上为a596,根据千进位制表示的定义,这个数奇数位上的数字之和与偶数位上数字之和的差为a576+a085-a596=a065,再看a065能否被13整除,因为(a065)1000=65,65÷13=5∈N*,所以8559676能被13整除.
综上所述,十进位数与千进位数可任意转换,因此我们可直接将一个数(从右到左)以3个数字设定为一位,如果其奇数位上的数字之和与偶数位上数字之和的差能被7(13)整除,那么这个数就能被7(13)整除.再以39424994为例吧.因为[(994+39)-424]÷7=87∈N*,所以39424994能被7整除.因为[(994+39)-424]÷13=609/13∈N*,所以39424994不能被13整除
 
 
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