1.967、1000、2001除以一个相同的数,余数也相同,这个数最大是多少?可能是多少?

（1）设：所求数为n
∵967、1000、2001模n同余
∴1000-967=33、2001-1000=1001可以被n整除
又∵33和1001的公约数为11和1
∴n最大是11,可能是1或11
（2）（题目中40应为20）
设：该数列中任意相邻三个数依次为a,b,c
由条件得：c=a+b
则c除以7的余数,等于a和b分别除以7的余数相加,再除以7所得的余数
故,这些数除以7所得的余数依次为1,6,0,6,6,5,4,2,6,1,0,1,1,2,3,5,|1,6,0,.
观察可得：上列余数中,每过16个数,便循环一次
则第2011个数与第11个数除以7所得的余数相同,即余数为0
（3）设：该数列中任意相邻三个数依次为k,m,n,且m=7p+x,n=7q+y,（p,q为整数,x,y为小于7的正整数）
由题意可知：k=mn
即k=(7p+x)(7q+y)=49pq+7py+7qx+xy
则k/7=7pq+py+qx+xy/7
∴k除以7的余数,即为xy除以7所得的余数
∵该数列为15,20,300,.
所以该数列各数除以7所得的余数依次为
1,6,6,| 1,6,6,| 1,6.
观察可得：上列余数中,每隔3个数,便循环一次
故第2011个数与第1个数除以7所得的余数相同,即为1