你的要求好苛刻啊,这个方法我也是第一次使用,有点类似数列极限的夹逼定理.用均值不等式放缩,找到一个更大的函数和一个更小的函数,然后证明这两个函数都是单调的,从而证明夹住的中间函数也是单调的.说实话,其实完全没有必要用均值.
设目标函数为fn,然后让我们先进行一次判断,该函数在零处取不到,所以,必须分为正负两段,分别用均值去证明单调.通过观察,显而易见,函数在正零处趋近正无穷,在正无穷处趋近于1,所以函数单调递减.而且函数在两段内连续.
以大于零部分为例,对目标函数求对数,不妨求为ln f(n),令新函数为gn.我们知道ln n在定义域内单调递增,所以只需要证明g n在定义域内单调递增就可以证明目标函数fn单调递减.
gn=（n+1）【ln（1+1/n)】 对（1+1/n)均值不等式有根号下2加上n方分之2大于等于 （1+1/n)大于等于根号下n分之四（其实做到这里你会发现,用均值取下限最大值n分之四放缩的有些大了,我暂时也想不出来向下用均值的方法,所以暂且向下放缩为1+n方分之1）
这个时候就变成证明tn=(n+1)ln(根号下2+2/n方)以及qn=(n+1)ln（n方分之1）的单调性了.此时把n+1都扔进去,你会发现两个函数都是单调递增的.所以中间加的函数也是单调递增的,所以原函数是单调递减的
在小于零部分同理了.
我第一次听说用均值证明单调性,很有意思,稍微想了一下,其实是硬凑出来的使用均值.希望对楼主有帮助,如果楼主有了好方法,不妨也来分享一下子.
