如图,ABCD是正方形,P是对角线上的一点,引PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.求证：（1）AP=EF：（2）AP⊥EF.

1、过P做PG⊥AB交AB于G
∵ABCD是正方形,
∴∠ABC=∠DCB=90° ∠ABD=∠DBC=45°
∵PE⊥BC 即∠PEB=90° PG⊥AB即∠PGB=90°
∴四边形GBEP是矩形
∴∠PBE(∠DBC)=45°
∴△BPE是等腰直角三角形
∴PE=BE
∴四边形GBEP是正方形
∴PG=PE=GB
∵AB=GF
∴AB-GB=GF-PG即AG=PF
∴Rt△AGP≌Rt△FPE
∴AP=EF
2、延长AP交EF于H,交BC于M
由四边形GBEP是正方形得GP(GF)∥BC GB∥PE∥FC
∴∠APG=∠HME(∠AMB)
∠PEF=∠EFC
由前面Rt△AGP≌Rt△FPE
得∠APG=∠PEF
∴∠EFC=∠HME
∵∠HEM=∠FEC
∴△EHM∽△EFC
∴∠EHM=∠FCE=90°(∠DCB=FCE=90°)
∴EF⊥HM
即AP⊥EF