问题描述: 在如图中,有六个不同的正方形,把1-9九个自然数填入九个○内,使每个正方形的四个顶点上的和相等. 1个回答 分类:数学 2014-12-14 问题解答: 我来补答 根据题意可得:为了叙述方便,我们将各个圆圈内填入字母,如下图所示.如果设每个正方形角上四个数字之和为S,那么图中六个正方形可得到: a1+a2+b1+b2=S,a2+b2+a3+b3=S, b1+b2+c1+b2=S,a2+b3+b2+b1=S, b2+b2+b3+c3=S,a1+a3+c3+c1=S. 将上面的六个等式相加可得到: 2(a1+a3+c3+c1)+3(a2+b3+b2+b1)+4b2=6S.则4b2=S 4(a1+a3+c3+c1)+4(a2+b3+b2+b1)+4b2=9S. 于是有: 4(a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+b2+c3)=4×45=9S. 9S=4×45 S=20. 这就说明每个正方形角上四个数字之和为20. 所以:b2=5. 从而得到:a1+a2+b1=a2+a3+b3=15, b1+c1+b2=b2+c3+b3=15. 由上面两式可得:a1+b1=a3+b3,b1+c1=b3+c3. 如果a2为奇数,则a1+b1和a3+b3均为偶数. ①若a1为奇数,a3为偶数,则b1为奇数,b3为偶数.因为a2+b3+b2+b1=20,所以b2为偶数,则c1为偶数,c3为奇数.但是a1+a2+5+b1=20,而奇数1、3、5、7、9中含有5的任意四个奇数的和不等于20,有矛盾. ②若a1为偶数,a3为偶数,则b1也为偶数,b3也为偶数.因为a2+b3+b2+b1=20,所以b2为奇数,则c1为偶数,c3为偶数,但1~9中只有4个偶数,有矛盾. ③若a1为奇数,a3为奇数,则b1、b3也为奇数,这样1~9中有六个奇数,有矛盾. ④若a1为偶数,a3为奇数,情况与①相同. 综合上述,a2必为偶数.由对称性易知:b2、b2、b1也为偶数.因此a1、a3、c3、c1全为奇数. 这样,就比较容易找到此解. 展开全文阅读