在四棱锥P-ABCD中,△PBC为正三角形,AB⊥平面PBC,AB∥CD,AB=12DC,DC=3BC,E为PD中点.

问题描述:

在四棱锥P-ABCD中,△PBC为正三角形,AB⊥平面PBC,AB∥CD,AB=
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1个回答 分类:数学 2014-11-11

问题解答:

我来补答
(1)证明:取PC的中点为F,连接EF,则EF为△PDC的中位线,即EF平行且等于
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2DC.
又∵AB∥CD,
∴AB平行且等于EF,
∴AE∥BF,
又∵BF⊂平面PBC,
∴四边形AEFB为矩形,
∴AE∥平面PBC.(3分)
(2)证明:∵△PBC为正三角形,F为PC的中点,
∴BF⊥PC
又EF⊥PC,EF∩BF=F,
∴PC⊥平面AEFB,AE⊥PC;
由(1)知AE⊥EF,EF∩PC=F,
∴AE⊥平面PDC.(7分)
(3)延长CB交DA于B/,连接PB/,设BC=a,
∵AB=
1
2DC,
∴BB/=BP=a,取B/P的中点为H,连接AH,BH,则BH⊥B/P,由三垂线定理知,AH⊥B/P,
∴∠AHB为平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角.(9分)
在Rt△AHB中,AB=

3
2a,AH=a,∴sin∠AHB=

3
2,∠AHB=
π
3
∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角为
π
3.(12分)
 
 
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