在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且垂直于底面ABCD,底面ABC是边长为2的菱形,角BAD为60,M为PC

问题描述:

在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且垂直于底面ABCD,底面ABC是边长为2的菱形,角BAD为60,M为PC中点,
求PA平行BDM,求AC于面ADM所成角的正弦值.
1个回答 分类:数学 2014-10-08

问题解答:

我来补答
1、连结AC、BD,交于O点,连结OM,∵四边形ABCD是菱形,∴AO=CO,(菱形对角线互相垂直平分),∵PM=CM,(已知),∴OM是△CAP的中位线,∴PA//OM,∵OM∈平面BDM,∴PA//平面BDM.2、在平面PAC上作CH⊥PA,交PA于H,∵PA//平面BDM,∴<PAC 与AC和平面BDM所成角相等,∵<BAD=60°,∴△ABD是正△,BD=AB=2,AO=√3OB=√3,∴AC=2√3,在平面PAD上作PH⊥AD,∵平面PAD⊥平面ABCD,∴PH⊥平面ABCD,PH=√3,在△AHC中,<D=120°,根据余弦定理,CH=√7,∵CH∈平面ABCD,∴PH⊥CH,∴△PHC是RT△,在△PHC中,根据勾股定理,PC=√(PH^2+CH^2)=√10,在△PAC中,根据余弦定理,cos<PAC=(PA^2+AC^2-PC^2)/(2PA*AC)=(4+12-10)/(2*2*2√3)=√3/4,∴sin<PAC=√(1-3/16)=√13/4,∴AC与平面ADM所成角的正弦值为√13/4.
 
 
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