因为：2 = 1 + 1；3 = 1 + 1 + 1；
5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1；
所以：
2 + 3 = （1 + 1） + （1 + 1 + 1） = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5；
证讫.
前面是 2、3、5的定义,后面是加法规则.由此可见,一个严格的证明要涉及自然数和加法的定义.
自然数的定义,可用（Giuseppe Peano,1858～1932,意大利数学家,逻辑学家）公理：
自然数的集合 N 符合下面的公理：
公理 1：1 为 N 的元素；（换言之,N 非空集）
公理 2：对于 N 的任一元素 n 存在唯一的 {n},称之为其后继,其也为自然数,即也在 N 内.（同一元素,有同一后继.）
公理 3:对于 N 的任一元素 n,{n} 不是（或说,不等于） 1.（这样,N 至少有两个元素了.）
公理 4：N 内不同的元素,有不同的后继.（此公理确定 N 内不止两个元素.如其不然,1 的后继为 2,2 的后继也为 2,这符合前面三个公理,于是 N 仅有两个元素了.）
公理 5：（归纳公理）对于任何集合 M,如其满足如下两个条件：1） 1 是其元素；2）对于其任意元素 m,其后继 {m}也是其元素,则 M 已包含全部自然数 N.
公理 5 对全部自然数加以界定,是归纳法的基础.
在此五个公理的基础上,我们就有了 1、2、3、4、5、6、.,无非是命名的问题,或称记数法.
下面对加法（+）加以定义.加法施于自然数 N 的任意两个元素 n 和 m,满足如下条件：
1）n + 1 = {n};
2) n + {m} = {n + m}
不难证明,这样的运算存在,而且唯一.继而,我们可一证明加法的交换律和结合律.最后完成 2 + 3 = 5 的证明.
