假设x是特征向量,因为a,Aa,...,A^(n-1)a无关,所以构成最大线性无关向量组,是一组n维空间的基,所以可以设x=b0*a+b1*Aa+b2*A^2a+...+b(n-1)*A^(n-1)a.因为x非零,所以b系数不能全部是0.
一方面,则Ax=b0*Aa+b1*(A^2)a+...+b(n-1)*(A^n)a.
一方面,则Ax=lamda*x=lamda*b0a+...+lamda*b(n-1)*(A^(n-1))a.
对一下系数,得
b(n-1)*(A^n)a=(lamda*b0)*a+(lamda*b1-b0)*Aa+.+(lamda*b(n-1)-b(n-2))*(A^(n-1))a.
如果b(n-1)=0,则0=(lamda*b0)*a+(lamda*b1-b0)*Aa+.+(lamda*b(n-1)-b(n-2))A^(n-1)a,因为a...A^(n-1)a本身线性无关,则只能所有系数为0,由b(n-1)=0可以递推出所有b都是0,不满足x非零的条件,所以b(n-1)=0不可能出现.
则b(n-1)不为0,不妨设b(n-1)=1（x是可以线性变化成b(n-1)等于1的形式,不妨碍x仍然为特征向量）,因为A^n有唯一的对于基的表达式,所以设
A^n=c0*a+c1*Aa+...+c(n-1)*(A^(n-1))a,其中c0...c(n-1)是特定系数.
则有
c0=lamda*b0
c1=lamda*b1-b0
...
c(n-1)=lamda*b(n-1)-b(n-2),
代入b(n-1)=1,很容易从后面往前算出b(n-2),b(n-3),...,b(0),在lamda确定后,这些数都是唯一确定的,所以特征空间维数必定是1.
注：从后往前的(n-1)个式子,联合lamda就足够求出所有b了,但是第一个式子c0=lamda*b0是否能满足,是lamda能否成为特征值的关键.
再问： 我就是证到一半就不知道怎么得到结论，你的意思是特征向量的表达式唯一是吧
再答： 恩，差不多，就是说对于一个潜在的特征值，特征向量只可能有一种表达方法（基于那一组基a,Aa,...,A^(n-1)a）。
再问： 谢谢啦！
