高中数学题（导数的应用）

（Ⅰ）直接求出函数的导函数,转化成不等式恒成立问题解决即可；
（Ⅱ）利用韦达定理先求出|x1-x2|,变为不等式恒成立问题,再构造函数利用函数的导数求最值即可解决．（Ⅰ）f'（x）=4+2ax-2x2,∵f（x）在[-1,1]上是增函数,
∴f'（x）≥0对x∈[-1,1]恒成立,
即x2-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立．①
设φ（x）=x2-ax-2,
①⇔{φ(1)=1-a-2≤0φ(-1)=1+a-2≤0⇔-1≤a≤1,
∵对x∈[-1,1],只有当a=1时,f'（-1）=0以及当a=-1时,f'（1）=0
∴A={a|-1≤a≤1}．
（Ⅱ）由4x+ax2-23x3=2x+13x3,得x=0,或x2-ax-2=0,
∵△=a2+8＞0
∴x1,x2是方程x2-ax-2=0的两非零实根,x1+x2=a,x1x2=-2,
从而|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=a2+8．
∵-1≤a≤1,∴|x1-x2|=a2+8≤3．
要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[-1,1]恒成立,
即m2+tm-2≥0对任意t∈[-1,1]恒成立．②
设g（t）=m2+tm-2=mt+（m2-2）,
②⇔g（-1）=m2-m-2≥0且g（1）=m2+m-2≥0,
⇔m≥2或m≤-2．
所以,存在实数m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
其取值范围是{m|m≥2,或m≤-2}．