基本思想如下：
设f(z)为n次实系数多项式,记z=x+yi(x、y∈R),考虑方根：
f(x+yi)=u(x、y)+v(x、y)i=0?
即u(x、y)=0与v(x、y)=0?
这里u(x、y)=0 与v(x、y)=0分别表示oxy坐标平面上的两条曲线C1、C2,于是通过对曲线作定性的研究,证明这两条曲线必有一个交点z0=a+bi,从而得出u(a、b)=v(a、b)=0,即f(a+bi)=0,因此z0便是方程f(z)=0的一个根.
曲线是要用到高等数学中的知识的
如果你已经进入大学,可以去查高斯的原始论文
加50分我可以打一个大学低年级可以看懂的证明出来
设 f (z) 为多项式.注意到当z 趋向无穷时,|f(z)|趋向无穷,所以|f|必然在平面 内部取到极小值.我们证明极小值是零.如果不然,设a为极小点,我们观察,g(z) =f(z-a)可以知道|g(z)|在零点取到极小值,并且为正的.
设g(z)=g(0)+z^k(c+dz+……+ez^m )
其中c 不等于零.我们看到因为g(0)非零,c非零,我们一定可以选取z,使得
| g(0)+c*z^k|
