问得好!
这个问题看上去是一个很简单的问题,甚至会引起一些人的嘲笑.
其实,本题问得非常深刻,涉及到好几个方面的问题,简答如下：
1、首先涉及的是语言问题,与语言的翻译问题.
我们将calculus翻译成《微积分》,differentiation翻译成《微分》,
integration翻译成《积分》.仅仅凭词义、词性,凭语言的精炼、
对仗等,无论英语还是汉语,都说得过去,无可挑剔.
但是按内容分析,就出了问题.积分是对函数积分,结果是一个
函数,记为f(x)、g(x)、、、,而微分也是对一个函数微分,可是
结果却是无穷小,记为f(x)dx、g(x)dx、、、,积分的结果并不是
无穷小!
这个问题在英语中并不存在,只是汉语的问题.因为differentiation,
在英文中既有微分的含义,又有导数的含义,可微就是可导,可导
就是可微,都是differentiable.我们的汉语教科书中,对于多元函
数,我们作了硬性规定,可微是指各个方向,所有方向可导才算是
可微,而英文中用了differentiable,后面注明方向就没有任何语义
含糊.在使用differentiation时,英文是语义双关的,可能是我们所
说的导数,也可能是我们所说的微分,例如total differention是全
微分；partial differentiation是偏导数.
2、其次涉及的是逻辑问题.
我们平时的说法总是将微分、积分相提并论,也就是说,我们的本
能意识是,微分跟积分是相对应的概念,是逻辑上对称的概念,是
彼此corresponding的概念.事实上,我们汉语中与积分对应的概念
应该是导函数,这一点楼主已经深深意识到了,并且提出了质疑,
这一点是非常难能可贵的,因为我们的文化没有丝毫建立定量理论
体系的痕迹,我们只有歌颂、宣传的习惯,没有质疑精神,也不允
许质疑,更不许挑战传统文化.导数概念本身,我们也是模棱两可、
语焉不详的,导数既可指导函数,也可以指导函数的值,所以导数
就更不可能得到与积分相配的“待遇”.所以,我们在逻辑上就混乱
了,我们用无限小概念的微分,与既不是无穷小也不见得是无穷大
的积分与之对应.求导对应的是积分,而不是求积；而积分对应的
概念不是求导,而是微分,这是一场三角恋爱的游戏.
不多说了,写得太多了,会引起政治觉悟高的同志的不快.
欢迎追问,或私信.
