已知函数f(x)(x属于R,且x大于0),对于定义域内任意x.y,恒有f(x+y)=f(x)+f(y),

问题描述:

已知函数f(x)(x属于R,且x大于0),对于定义域内任意x.y,恒有f(x+y)=f(x)+f(y),
并且x大于1 时,f(x)大于0恒成立
(1)求f(1)
(2)证明方程f(x)=0有且仅有一个实根
(3)若x属于【1,正无穷)时,不等式f((x方+2x+a)/x)大于0恒成立,求实数a的取值范围
1个回答 分类:数学 2014-10-23

问题解答:

我来补答
1、令x=1代入,有f(1)=0;
2、可以证明此函数是单调的.证明如下:取m>n>0,则f(m)-f(n)=f[(m-n+n)]-f(n)=f(m-n)+f(n)-f(n)=f(m-n),由于m-n>0时有f(m-n)>0,所以f(m)>f(n),即函数在(0,+∞)单调递增.
注:你的题目好像有问题啊.单调增未必方程f(x)=0有解啊.
3、不等式f((x方+2x+a)/x)大于0恒成立等价于((x方+2x+a)/x)>1恒成立,即x²+2x+a>x在区间[0,+∞)上恒成立.这是二次函数问题.即a>-x²-x,那就只要求出函数-x²-x在区间[0,+∞)上的最大值.
 
 
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