形式逻辑
formal logic
这门学科以命题(或用来论断的语句)和演绎论证作为主要课题,从它们的内容中抽取它们所体现的结构或逻辑形式.逻辑学家为了明晰地表达这些结构和易于检验有效性,惯于使用符号记法,因而形式逻辑又称为符号逻辑.形式逻辑是一种先验的而非经验的学理.在这方面它不同于自然科学和其他依赖观察取得资料的学科,而与纯数学最相似.
导言
演绎论证要求其中某命题(结论)必须是严格地从另外某一或某些命题(前提)得出的；这也就是说,如果肯定前提但否定结论,则就不一致或自相矛盾了.与此相比,归纳论证只要求前提赋予结论一定程度的概然性.形式逻辑所要研究的演绎推理,其有效性与其内容的特性无关,而是依赖于其形式或结构.一个推理形式,如果它的任何实例都不会具有真前提同时又有一个假结论那就是有效的.与此紧密相联,有效的命题形式就是其实例都是真命题的命题形式.形式逻辑的任务之一是辨别有效的和非有效的推理形式,揭示存在于有效的推理形式之间的关系,并加以系统化.通常则把形式逻辑看成是对命题形式的研究.由于逻辑学家对命题形式的处理在许多方面类似于数学家对数值公式的处理,因此他们所构造的系统常称演算.
一个逻辑系统的结构事实上包含两个可以区分开的过程∶首先是建立一个符号装置——一套符号,把这些符号串成公式的规则,及处理这些公式的规则；其次是赋予这些符号和公式以一定的意义.如果只实行前者,则所得系统就说成是未加解释的或纯形式的；如果后者也同时做到,该系统就说成是已解释的.这一区别是重要的,因为逻辑系统会有某些性质,而与可以加于它们的任何解释都没有什么关系.以一逻辑公理系统为例,其中某一定理的证明是不是可靠的问题完全取决于哪些公式作为公理和以什么规则来从公理推导出定理,而根本不取决于定理或公理的意义何在.再则是,某一特定的未经解释的系统一般都能同等完美地以若干不同的方式加以解释；因此在研究一个未解释的系统时,人们是在研究多种已解释的系统所同有的结构.
命题演算
最简单、最基本的逻辑分支是命题演算(简称PC).其所以这样称呼,是因为它只讨论完整的、未分析的命题及参加的一些组合.PC中用到的符号主要包括命题的变元和施于命题以形成命题的算子(简称命题联结词).在一般的PC系统中,命题都假定为真或假而没有命题是既真又假.常用的算子分别相当于日常语言中的“不”、“并且”、“或者”、“如果……那么”和“当且仅当”.它们都是真值函项算子；就是说,由算子及其主目形成的命题,其真假值唯一地决定于赋予各主目的真假值.
命题演算的有效性准则∶一个公理系统是可靠的,如果每个定理都有效；它是完备的(或者说弱完备的),如果每个有效的合式公式(合意的公式)都是定理.一个公理系统是一致的,如果绝不会推导出这样一对定理,其中之一是另一个的否定；它是强完备的,如果把任一不是定理的合式公式(作为额外的公理)加进其中,将使得此系统是不一致的.一个公理或变形规则(在一给定的公理系统中)是独立的,如果它不能由其他的公理和变形规则推导出来.关于PC,已经设计出相当数量的公理系统,它们都具有所有上述性质.证明它们具有这些性质,这个任务属于元逻辑.此外,PC还是可判定的系统,就是说能找到一个能行的程序(即此程序具有“机械的”性质,并且总能赖以在有穷步内得出一个确定的结果)来检验系统中任一合式公式的有效性.事实上存在好几种判定程序；其中最简单和理论上最重要的一种就是真值表方法.
除了一般的PC系统,还存在各种特殊的PC系统.首先有像纯蕴涵系统那样的局部的PC系统.其次有像三值逻辑和直观主义演算那样的非标准形态的PC系统.此外,PC(以及其他某些逻辑分支)常被用所谓自然演绎方法来表现.这本质上由一组规则组成,这些规则是用来由表示为PC的合式公式的若干假设(假定,前提)得出结论的,因而是用来构造有效的推理形式的.然而它也提供了一种从这些推理形式推导出有效的命题形式的方法,这样它也就类似于一公理系统中的定理的推导.
谓词演算
命题还可以不由其他命题组成,而由本身不是命题的要素组成.这些要素是∶1.指称单个个体的表达式；2.叫作谓词的表达式,它们表示事物的性质或事物之间的关系；3.全称量词(“对于所有的……”)和存在量词(“存在一个……使得”).由个体变元、谓词变元以及量词和命题联结词构成的合式公式是谓词演算的合式公式.如果出现在量词中的变元都只是个体变元,这样的谓词演算叫作初阶的(或一阶的)谓词演算(简称LPC).其中量词可以包含其他种类变元的谓词演算统称高阶谓词演算.例如在二阶谓词演算中,就既允许对个体变元又允许对谓词变元施行量化.LPC中的有效性可以形式地定义如下∶对于LPC的任一合式公式,都可以构成任何数量的LPC模型；一个合式公式是有效的,如果它在每个模型中都是真的.已有若干个LPC的公理系统是可靠的和完备的.
通过对上述LPC加以变动,用各种方式限制或扩充合式公式的范围,可以构成各种特殊的LPC系统.首先,可以加以限制而得到各种局部的LPC系统,例如只包含一目谓词变元的一目LPC系统.其次,可以通过增加各种类型的新符号,构造一些更精细的系统,从而可在其中表达范围更广的命题；这主要是指增加个体常元、谓词常元、函数变元或函数常元,或者兼而有之.还可以向LPC中加进命题变元,把PC和LPC联合成一个系统.最后,还可以有带等词的LPC；在这样的系统中可以引进数字量词和定摹状词.
其他特殊的逻辑系统
1. 三段论逻辑是形式逻辑最早的分支,它研究的是A、E、I、O 4种形式的命题.20世纪以来已为它设计出多种公理基础.2. 模态逻辑是用来表达包含模态概念(“必然”、“可能”、“不可能”、“偶然”、“严格蕴涵”等)的那些法则的逻辑.构造这种逻辑的最直截了当的方法,是向某些标准的非模态系统中加进表示模态概念的新的初始算子.现已构造出大量的模态逻辑系统.模态逻辑中有效性的定义大多用到“可能世界”概念.3. 集合论是一种关于类的逻辑.它可以通过向某种形式的LPC中加进各种特殊的公理而被推导出来.集合论对于数学基础有重要意义.4. 关于数学的逻辑基础,有可能不依靠集合论而以一种逻辑系统的形式来建立算术.现在已经有了自然数算术的一个很适宜的公理系统.但是自然数算术却既不是可判定的,又不是可完备地公理化的.5. 广义地说,应用逻辑就是把逻辑原理应用于检验实际推理的有效性.为此有必要列举各种形式的常见的非有效的推理(逻辑谬误).专门意义上的应用逻辑是指这样的逻辑系统,它把某个相对局限的思想或议论领域中的可靠的推理形式系统化.这类系统包括∶(1)道义逻辑(讨论“务须”、“允许”之类的道德概念)；(2)相对价值逻辑(讨论“较优于”)；(3)认知逻辑(知道逻辑和相信逻辑)；(4)时间关系逻辑(讨论“现在”、“将来”、“过去”、“永远”等)；(5)关于不能用蕴涵关系来分析的条件命题(如因果命题和反事实条件命题)的形式逻辑；(6)关于人们议论中各种非命题因素(如问题、命令、告诫、意向表示等)的形式逻辑.
