最小二乘法
在我们研究两个变量(x,y)之间的相互关系时,通常可以得到一系列成对的数据(x1,y1、x2,y2...xm ,ym)；将这些数据描绘在x -y直角座标系中(如图1),若发现这些点在一条直线附近,可以令这条直线方程如(式1-1).
Y计= a0 + a1 X (式1-1)
其中：a0、a1 是任意实数
为建立这直线方程就要确定a0和a1,应用《最小二乘法原理》,将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化判据”.
令:φ = ∑(Yi - Y计)2 (式1-2)
把(式1-1)代入(式1-2)中得:
φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)
当∑(Yi-Y计)平方最小时,可用函数 φ 对a0、a1求偏导数,令这两个偏导数等于零.
(式1-4)
(式1-5)
亦即：
m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)
(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi,Yi) (式1-7)
得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组,解这两个方程组得出：
a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8)
a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9)
这时把a0、a1代入(式1-1)中,此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型.
在回归过程中,回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1,y1、 x2,y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”,统计量“F”,剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好.
R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) ＊
在(式1-1)中,m为样本容量,即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值.微积分应用课题一 最小二乘法
从前面的学习中,我们知道最小二乘法可以用来处理一组数据,可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系,这种函数关系称为经验公式.本课题将介绍最小二乘法的精确定义及如何寻求 与 之间近似成线性关系时的经验公式.假定实验测得变量之间的 个数据 ,,…,,则在 平面上,可以得到 个点 ,这种图形称为“散点图”,从图中可以粗略看出这些点大致散落在某直线近旁,我们认为 与 之间近似为一线性函数,下面介绍求解步骤.
考虑函数 ,其中 和 是待定常数.如果 在一直线上,可以认为变量之间的关系为 .但一般说来,这些点不可能在同一直线上.记 ,它反映了用直线 来描述 ,时,计算值 与实际值 产生的偏差.当然要求偏差越小越好,但由于 可正可负,因此不能认为总偏差 时,函数 就很好地反映了变量之间的关系,因为此时每个偏差的绝对值可能很大.为了改进这一缺陷,就考虑用 来代替 .但是由于绝对值不易作解析运算,因此,进一步用 来度量总偏差.因偏差的平方和最小可以保证每个偏差都不会很大.于是问题归结为确定 中的常数 和 ,使 为最小.用这种方法确定系数 ,的方法称为最小二乘法.
由极值原理得 ,即
解此联立方程得
(*)
