如何证明旋转体表面积积分公式

这种东西严格证明是比较难的,我们也没必要知道,下面给你做一个简单说明见图

注意到图中那个灰色的带环就是表面积的微元dS,它应该等于这个带子的周长乘以宽度,带子的周长为2πf(x),这个应该不难理解吧?主要是宽度,注意,这里宽度不是dx（一个容易出错的地方）,因为这个带子的宽度并不是一个线段,而是弧线,因此这里要用弧微分,就是ds,根据弧微分公式,ds=√(1+f(x)^2)dx这样我们就可得到微元,dS=2πf(x)*√(1+f(x)^2)dx,下面就是做积分了,其它地方图中讲得很清楚了.如满意,请采纳.
再问： 为何微元中的宽度是弧线而不是线段
再答： 因为那个带子并不是一个带环，它在左右方向上是有弧度的，或者说你用图中的XOY面切一下这个环，切出来的不是线段，而是一个小弧段，这个弧段累加起来是y=f(x)的曲线弧长，而不是a到b的线段。