已三维为例,设未知数为x,y, z,满足约束 g(x,y,z)=0,要求f(x,y,z)的极值.其中f,g都是定义在R^3上的光滑函数.
设M={(x,y,z)|g(x,y,z)=0},M是一个嵌入在R^3的光滑曲面.设p是M上使f取得极值的点,如果p不在M的边界上,那么一定满足f的梯度df=(fx, fy, fz)垂直于曲面,从而对曲面在p点的任何切向量X=(x',y',z'),有df(X)=0.换句话说,f在p处的各个方向导数都为0,当然这里的方向都是M的切方向.
设dg=(gx, gy, gz)是g的梯度,因为M上g恒为0,所以有dg(X)=0恒成立.就是说对g(x,y,z)=0微分,就能得到gx*x'+gy*y'+gz*z'=0,这就是dg(X)=0.
现在,在p点,f的梯度df和g的梯度dg都和M垂直,从而df和dg只差一个标量.记这个标量是lambda,就得到 (fx, fy, fz)=lambbda*(gx,gy,gz)
这就是拉格朗日乘数法.
