已知α β是方程X的平方-X-1=0的两个根,S1=α+β,S2=α的平方2+β的平方2,.Sn=α的N次方+β的N次方

α、β是方程x^2-x-1=0的两个根
根据韦达定理：
α+β=1
αβ=-1
得S1=α+β=1
S2=α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=3
S3=α^3+β^3=(α+β)(α^2-αβ+β^2)=4
S4=α^4+β^4=(α^2+β^2)^2-2α^2β^2=7
S5=α^5+β^5=(α^3+β^3)(α^2+β^2)-(α+β)α^2β^2=11
S6=α^6+β^6=(α^3+β^3)^2-2α^3β^3=18
n为不小于3的整数时,Sn=S(n-1)+S(n-2)
证明：
已知α,β为x^2-x-1=0的两根
所以α^2-α-1=0,β^2-β-1=0
α^2=α+1,β^2=β+1
S(n-1)+S(n-2)
=α^(n-1）+β^(n-1）+α^(n-2）+β^(n-2）
=(α+1）α^(n-2）+（β+1）β^(n-2）
将α^2=α+1,β^2=β+1带入得
S(n-1)+S(n-2)
=α^2×α^（n-2）+β^2×β^（n-2）
=α^n+β^n
=Sn
证毕!
因为
（1+根号5)/2+(1-根号5)/2=1
（1+根号5)/2×(1-根号5)/2=-1
所以（1+根号5)/2,(1-根号5)/2是方程x^2-x-1=0的两个根
所以（1+根号5/2）的七次方+（1-根号5/2）的七次方
=S7
=S6+S5
=18+11
=29